Question

Планируется взять у банка кредит в июле в размере 18 млн. условия таковы: в январе на оставшуюся сумму начисляется процент, в виде 10% в марте нужно сделать определенную выплату. в следующий июль кредит должен быть на одно и тоже количество меньше июля, и так каждый год. (при этом, выплаты не должны быть равными) сколько лет займет выплата кредита, если известно, что со всеми переплатами было выплачено 27 млн рублей?

Answer 1

Пусть количество лет, на которые взят кредит - х, сумма кредита - С, тогда ежегодный платёж по основному долгу С/х.
Год     Долг                   Выплата                             Проценты
1           С                    С/х+С*0,1                                   0,1*С
2          С-С/х            С/х+(С-С/х))*0,1              0,1*(С-С/х)=0,1*С*(1-1/х)
3         С-2*С/х       С/х+(С-2*С/х)*0,1             0,1*(С-2*С/х)=0,1*С*(1-2/х)
4         С-3*С/х       С/х+(С-3*С/х)*0,1             0,1*(С-3*С/х)=0,1*С*(1-3/х)
и так далее
х        С-х*С/х     С/х+(С-(х-1)*С/х)*0,1     0,1*(С-(х-1)*С/х)=0,1*С*(1-(х-1)/х)
Выплата по процентам за х лет составила 27-18=9 млн. рублей
Посчитаем выплаченные проценты за х лет.
0,1*С+0,1*С*(1-1/х)+0,1*С(1-2/х)+0,1*С*(1-3/х)+...+0,1*С*(1-(х-1)/х)=9 млн.
0,1*С*(1+1-1/х+1-2/х+1-3/х+...+1-(х-1)/х)=9
1+1-1/х+1-2/х+1-3/х+...+1-(х-1)/х=9/0,1*18=5
Сложим единицы, их по одной на каждый год кредитования
х-(1/х+2/х+3/х+...+(х-1)/х)=5
1/х+2/х+3/х+...+(х-1)/х - арифметическая прогрессия
S=(а1+аn)*n/2=(1/х+(х-1)/х)*(х-1)/2=(х-1)/2
х-(х-1)/2=5 (*2)
2*х-х+1=10
х=9 лет срок кредитования