Question

Функция : y=(4x^2+9)/x исследовать функцию по 8 пунктам: 1)найти область определения 2)найти область непрерывности и точки разрыва 3)исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность 4)найти точки пересечения с осями координат 5)найти асимптоты графика 6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремиумы (использовать производную функции) 7)найти интервалы на выпуклость, вогнутость и точки перегиба ( использовать вторую производную функции) 8) построить график

Answer 1

ДАНО

Y = (x² + 9)/x

ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Область определения. Деление на ноль в знаменателе.
Х≠ 1.
Х∈(-∞;0)∪(0;+∞)
2. Вертикальная асимптота:  Х= 1. 
3. Пересечение с осью Х. Y(x) = 0 - нет.
4. Пересечение с осью У - нет
5. Наклонная асимптота 
k = lim(+∞)Y(x)/x = 4*x/x = 4. Уравнение асимптоты: Y = 4*x.

6. Проверка на чётность.
Y(-x) ≠ Y(x). Y(-x) ≠ - Y(x)
Функция ни четная ни нечетная.
7. Поведение в точке разрыва.
lim(->0-) Y(x) = -∞.
lim(->0+) Y(x) = +∞
8, Первая производная.
$Y'(x)=8- \frac{4x^2+9}{x^2}=0$
6. Локальные  экстремумы.
Y'(x) = 0,  x1 = - 3/2,  x2 = 3/2
Максимум Y(-3/2)= .-12.

Минимум Y(3/2) = 12.
7. Участки монотонности функции.
Возрастает - Х∈(-∞;-3/2]∪[3/2;+∞).

Убывает - Х∈[-3/2;0)∪(0;3/2]
8. Вторая производная.

$Y"(x)=- \frac{8}{x}+ \frac{8*x^2+18}{x^3} =0$

Корней нет. Точек перегиба (на графике) - нет.
9. Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞;0). Вогнутая - "ложка" - Х∈(0;+∞)

10. График в приложении