Question

Втреугольнике авс высоты, проведённые к сторонам ас, вс и вс соответственно равны 15,35 и 21 найдите: 1) площадь треугольника 2)сторону ав 3)сторону вс 4)сторону ас 5)радиус описанной окружности 6)радиус вписанной окружности 7)медиану, проведённую к стороне вс 8)биссектрису, проведённую из вершины в

Answer 1

Дано: 

В треугольнике АВС высоты, проведённые к сторонам АС, ВС и АВ соответственно равны hb=15,ha=35 и hc=21.
Найти: 1) площадь треугольника 
2) сторону АВ 
3) сторону ВС 
4) сторону АС 
5) радиус описанной окружности 
6) радиус вписанной окружности 
7) медиану, проведённую к стороне ВС 
8) биссектрису, проведённую из вершины В.

Используем равенства: $ah_a=bh_b=ch_c.$
Отсюда выводим пропорции$\frac{a}{h_b} = \frac{b}{h_a} = \frac{c}{ \frac{h_a*h_b}{h_c} } .$
То есть, искомый треугольник со сторонами a, b, c подобен треугольнику ВА1С1 со сторонами $h_b, h_a, \frac{h_a*h_b}{h_c} .$
Значение  $\frac{h_a*h_b}{h_c} .$ равно 15*35/21 = 25.

Для треугольника ВА1С1 найдём высоту из вершины В.

Для этого найдём площадь ВА1С1 по Герону:

полупериметр р = (15+35+25)/2 = 75/2 = 37,5.

S(BA1C1) = √(37,5*2,5*22,5*12,5) = √26367,1875 ≈  162,3797632.

Тогда высота в этом треугольнике из вершины В равна:

h'(B) = (2S(BA1C1))/(h(A1C1)) = (2*162,3797632)/35 = 9,278844.

Отсюда находим коэффициент пропорциональности:

к = 15/9,278844 = 1,616581.

Теперь находим искомые длины сторон:

2) сторона АВ (c) = 1,616581*25 = 40,41452,

3) сторона BС (a) = 1,616581*15 =  24,24871,

4) сторона AС (b) = 1,616581*35 = 56,58033,

1) площадь треугольника АВС = (1/2)АС*hb =

= (1/2)*56,58033*15 = 424,35245 кв.ед.

5) радиус описанной окружности R = (abc)/(4S) = 32,66667.

6) радиус вписанной окружности r = S/p = 424,35245/60,62178 = 7.

7) медиану, проведённую к стороне ВС :

ma = (1/2)√(2b²+2c²-a²) = 47,64802.

8) биссектрису, проведённую из вершины В:

βb = (2/(a+c))*√(acp(p-b)) = 15,1554.