Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 3. площадь боковой поверхности призы равна 288.найдите высоту цилиндра
Для решения данной задачи мы будем использовать свойства правильной четырехугольной призмы и около нее описанного цилиндра.
1. Сначала определим площадь боковой поверхности призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Так как призма правильная, то у нее основание — ромб. Периметр ромба можно найти, зная длину стороны ромба или радиус цилиндра.
2. Построим равнобедренный треугольник, в котором стороны равны радиусу цилиндра (3), и высота равна стороне ромба правильной четырехугольной призмы (высоте призмы).
3. Найдем высоту равнобедренного треугольника. Высота равнобедренного треугольника делит его на два прямоугольных треугольника. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту равнобедренного треугольника.
4. Узнав высоту равнобедренного треугольника, мы можем найти высоту правильной четырехугольной призмы (высоту цилиндра), так как сторона ромба равна этой высоте.
Теперь приступим к решению:
1. Площадь боковой поверхности призмы равна 288. Представим основание призмы в виде ромба. Площадь ромба можно найти, зная его сторону. Так как ромб состоит из четырех равных треугольников, площадь ромба можно найти по формуле: Площадь ромба = половина произведения диагоналей. Поскольку ромб равнобедренный, можно представить его как два равносторонних треугольника, в которых диагонали являются основаниями, а высота - стороной и высотой четырехугольной призмы. Таким образом, площадь ромба равна 288, а площадь равностороннего треугольника (половина площади ромба) равна 288/2 = 144.
2. Построим равнобедренный треугольник, в котором стороны равны радиусу цилиндра (3), а одна из сторон равна высоте правильной четырехугольной призмы (высоте цилиндра).
3. Найдем высоту равнобедренного треугольника, используя теорему Пифагора. По теореме Пифагора: длина гипотенузы в квадрате равна сумме квадратов катетов. Один катет равен половине основания правильной четырехугольной призмы (стороне ромба), а другой катет равен радиусу цилиндра. Подставим в формулу значения и найдем квадрат длины гипотенузы.
Призма описана около цилиндра, а значит, высота равнобедренного треугольника равна высоте цилиндра, то есть (высота цилиндра / 2)^2 - 9 = высота цилиндра^2.
Таким образом, высота цилиндра^2 - 4*3*9 = 4*144/4^2
высота цилиндра^2 - 108 = 144/4
высота цилиндра^2 - 108 = 144/4
высота цилиндра^2 - 108 = 36
высота цилиндра^2 = 108 + 36
высота цилиндра^2 = 144
высота цилиндра = √144 = 12
В основании призмы квадрат 6*6.
Площадь оснований 36*2=72
Полщадь боковой грани (288-72):4=72-18=54.
Высота призмы 54:6=9 см
ответ: 9см