Question

Втеннисном турнире участвовали n профессионалов и 2n любителей. каждая пара теннисистов сыграла ровно одну игру между собой. известно, что отношение числа побед, одержанных профессионалами, к числу побед, одержанных любителями, равно 7/5 (в теннисе ничьих не бывает). найдите n.

Answer 1

3

Пошаговое объяснение:

Всего было n * (n - 1) / 2 игр между профессионалами (в каждой такой игре победил профессионал), 2n * (2n - 1)/2 игр между любителями (соответственно, в таких играх побеждали любители) и n * 2n = 2n^2 игр, в которых приняли участие профессионал и любитель (допустим, в x из них победил профессионал, и в 2n^2 - x победил любитель).

Оценим возможное отношение числа побед профессионалов к числу побед любителей, оно равно

$\dfrac{\frac{n(n - 1)}2 + x}{\frac{2n(2n - 1)}2 + 2n^2 - x} = \dfrac{n^2 - n + 2x}{2(4n^2 - n - x)}$ [*}

Это отношение будет наименьшим при x = 0, когда все любители обыграли всех профессионалов, тогда оно равно (n - 1)/(8n - 2).

Это отношение будет наибольшим при x = 2n^2 (это соответствует всем поражениям любителей в матчах с профессионалами), значение отношения (5n - 1)/(4n - 2).

Найдем, при каких n 7/5 попадает в этот промежуток:

$\begin{cases}\dfrac{n-1}{8n-2}\leqslant\dfrac75\\\dfrac{5n-1}{4n-2}\geqslant\dfrac75\end{cases} \begin{cases}5n-5\leqslant35n-14\\25n-5\geqslant28n-14\end{cases}\begin{cases}30n\geqslant9\\3n\leqslant9\end{cases}\\\boxed{1\leqslant n\leqslant3}$

Итак, все возможные n - 1, 2 и 3. Заметим, что общее количество игр 3n (3n - 1)/2 должно быть кратно 7 + 5 = 12, это выполнено только для n = 3.