Добрый день! Давайте рассмотрим задачу по нахождению площади фигуры, ограниченной линиями y=2cosx, y=1, x=-п/3, x=п/3.
Шаг 1: Нарисуем графики данных функций, чтобы понять, как выглядит фигура, ограниченная этими линиями.
На графике y=2cosx видим, что это график косинусной функции, которая принимает значения от -2 до 2. Также, учитывая условие сохранения фигуры в данной задаче, нас интересуют только значения графика функции y=2cosx, которые больше или равны единице: y ≥ 1.
Дополнительно, нам задано условие x=-п/3 и x=п/3, что означает, что фигура ограничена линиями x=-п/3 и x=п/3.
Теперь, давайте нарисуем эти графики на одной координатной плоскости.
*Вставить графики y=2cosx и y=1, а также вертикальные линии x=-п/3 и x=п/3*
Шаг 2: Так как нас интересует площадь фигуры между этими кривыми, мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти эту площадь. Формула для нахождения площади фигуры между двумя кривыми задается следующим образом:
Площадь = ∫ (верхняя функция - нижняя функция) * dx,
где верхняя функция - это верхняя граница фигуры, а нижняя функция - это нижняя граница фигуры.
Шаг 3: Определим верхнюю и нижнюю функции, чтобы использовать их в нашей формуле для нахождения площади.
Мы видим на графике, что верхняя функция для нас - это y=2cosx, а нижняя функция - это y=1.
Шаг 4: Подставим наши функции в формулу и решим определенный интеграл для нахождения площади фигуры.
Площадь = ∫ (2cosx - 1) * dx.
Давайте проинтегрируем данное выражение.
∫ (2cosx - 1) * dx = ∫ 2cosx * dx - ∫ 1 * dx.
Посмотрим на первое слагаемое ∫ 2cosx * dx:
∫ 2cosx * dx = 2 * ∫ cosx * dx.
Интеграл cosx равен sinx, поэтому:
∫ 2cosx * dx = 2 * sinx + C1.
Второе слагаемое ∫ 1 * dx равно x + C2.
Подставляем результаты в начальное выражение:
Площадь = 2 * sinx + x + C.
Шаг 5: Определение границ интегрирования.
У нас задано, что x принадлежит интервалу [-п/3, п/3].
Шаг 1: Нарисуем графики данных функций, чтобы понять, как выглядит фигура, ограниченная этими линиями.
На графике y=2cosx видим, что это график косинусной функции, которая принимает значения от -2 до 2. Также, учитывая условие сохранения фигуры в данной задаче, нас интересуют только значения графика функции y=2cosx, которые больше или равны единице: y ≥ 1.
Дополнительно, нам задано условие x=-п/3 и x=п/3, что означает, что фигура ограничена линиями x=-п/3 и x=п/3.
Теперь, давайте нарисуем эти графики на одной координатной плоскости.
*Вставить графики y=2cosx и y=1, а также вертикальные линии x=-п/3 и x=п/3*
Шаг 2: Так как нас интересует площадь фигуры между этими кривыми, мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти эту площадь. Формула для нахождения площади фигуры между двумя кривыми задается следующим образом:
Площадь = ∫ (верхняя функция - нижняя функция) * dx,
где верхняя функция - это верхняя граница фигуры, а нижняя функция - это нижняя граница фигуры.
Шаг 3: Определим верхнюю и нижнюю функции, чтобы использовать их в нашей формуле для нахождения площади.
Мы видим на графике, что верхняя функция для нас - это y=2cosx, а нижняя функция - это y=1.
Шаг 4: Подставим наши функции в формулу и решим определенный интеграл для нахождения площади фигуры.
Площадь = ∫ (2cosx - 1) * dx.
Давайте проинтегрируем данное выражение.
∫ (2cosx - 1) * dx = ∫ 2cosx * dx - ∫ 1 * dx.
Посмотрим на первое слагаемое ∫ 2cosx * dx:
∫ 2cosx * dx = 2 * ∫ cosx * dx.
Интеграл cosx равен sinx, поэтому:
∫ 2cosx * dx = 2 * sinx + C1.
Второе слагаемое ∫ 1 * dx равно x + C2.
Подставляем результаты в начальное выражение:
Площадь = 2 * sinx + x + C.
Шаг 5: Определение границ интегрирования.
У нас задано, что x принадлежит интервалу [-п/3, п/3].
Подставим границы в выражение для площади:
Площадь = 2 * sin(п/3) + п/3 - (2 * sin(-п/3) + (-п/3)).
Упрощаем это выражение:
Площадь = 2 * (√3/2) + п/3 - 2 * (-√3/2) - (-п/3).
Площадь = √3 + п/3 + 2 * √3/2 + п/3.
Площадь = 2√3 + 2п/3.
Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y=2cosx, y=1, x=-п/3, x=п/3, равна 2√3 + 2п/3.
Надеюсь, этот ответ был подробным и понятным для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!