x^4 + 4x^3 – 4x^2 – 20x – 5 = 0
---
Решаем методом Феррари
---
Делаем замену по формуле (x = y - (a / 4)), где a - коэф. при 3-ей степени
x = y - 1
x^4 + 4x^3 – 4x^2 – 20x – 5 =
= (y – 1)^4 + 4(y – 1)^3 – 4(y – 1)^2 – 20(y – 1)– 5 =
= y^4 – 4y^3 + 6y^2 – 4y + 1 + 4y^3 – 12y^2 + 12y – 4 –
– 4y^2 + 8y – 4 – 20y + 20 – 5 =
= y^4 – 10y^2 – 4y + 8
y^4 – 10y^2 – 4y + 8 = 0
p = -10, q = -4, r = 8
Кубическая резольвента:
2s^3 + 10s^2 – 16s – 84 = 0
Сократим на 2:
s^3 + 5s^2 – 8s – 42 = 0
Корень кубической резольвенты:
s = -3
Используя формулу y^2 - y * (√2√x - √p) + (q / (2 * √2√s - √p)) + s = 0
Получаем:
y^2 – 2y – 4 = 0
По дискриминанту корни:
y1 = 1 - √5 ; y2 = 1 + √5
Подставляем значения p = -10, q = -4 и s = -3 в формулу
y^2 + y * √2√s - √p - (q / 2 * √2s - √p) + s = 0
Получаем:
y^2 + 2y – 2 = 0
По дискриминанту корни:
y3 = -1 - √3 ; y4 = -1 + √3
Подставляем все значения y в формулу x = y – 1
Получаем корни уравнения:
x1 = -√5 ; x2 = √5 ; x3 = -2 - √3 ; x4 = -2 + √3
ответ
x1 = -√5 ; x2 = √5 ; x3 = -2 - √3 ; x4 = -2 + √3
Немного поясню свой ответ. Сразу видно, что прямоугольник расположен так, что его стороны параллельны осям координат. Это потому, что А и В имеют одинаковые абсциссы, а В и С одинаковые ординаты, поэтому по соображениям симметрии А и D должны иметь одинаковые ординаты, а C и D одинаковые абсциссы, откуда следуют координаты D.
Если бы прямоугольник был как-то повёрнут и сдвинут относительно осей координат, то координаты четвёртой точки тоже можно было найти, но не так просто, а путём определённых вычислений и знания свойств прямоугольника.
Да, там ещё площадь. Понятно, что стороны равны 5 и 9, значит площадь равна 45.