1) Для решения уравнения (x^2-2)^2-12(x^2-2)-161=0, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Пусть новая переменная y = x^2-2. Тогда уравнение будет принимать вид y^2 - 12y - 161 = 0.
Мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта. Для этого сначала найдем дискриминант, который равен D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -12 и c = -161.
D = (-12)^2 - 4(1)(-161)
= 144 + 644
= 788
Так как дискриминант положительный, у нас есть два вещественных корня. Используя формулу корней квадратного уравнения, мы можем найти значения y.
Таким образом, у нас есть два значения y: 20.036 и -8.036.
Теперь, чтобы найти значения x, мы устанавливаем y равным x^2-2 и решаем уравнения относительно x.
Для y = 20.036:
20.036 = x^2 - 2
x^2 = 22.036
x = ± sqrt(22.036)
x ≈ ± 4.694
Для y = -8.036:
-8.036 = x^2 - 2
x^2 = -6.036
Нет решений, так как квадрат никогда не может быть отрицательным.
Таким образом, уравнение имеет два решения: x ≈ 4.694 и x ≈ -4.694.
2) Для решения уравнения x^4 - 12x^2 - 64 = 0, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Пусть новая переменная y = x^2. Тогда уравнение будет принимать вид y^2 - 12y - 64 = 0.
Мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта. Для этого сначала найдем дискриминант, который равен D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -12 и c = -64.
D = (-12)^2 - 4(1)(-64)
= 144 + 256
= 400
Так как дискриминант положительный, у нас есть два вещественных корня. Используя формулу корней квадратного уравнения, мы можем найти значения y.
Таким образом, у нас есть два значения y: 16 и -4.
Теперь, чтобы найти значения x, мы берем квадратный корень из y.
Для y = 16:
x^2 = 16
x = ± sqrt(16)
x = ± 4
Для y = -4:
x^2 = -4
Нет решений, так как квадрат никогда не может быть отрицательным.
Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 4 и x = -4.
3) Для решения уравнения (x^2-5x)(x^2-5x+10)+24=0, мы можем заметить, что уравнение имеет общий множитель (x^2-5x), который мы можем вынести за скобки. Тогда уравнение будет принимать вид:
(x^2-5x)((x^2-5x+10) + 24 = 0.
Мы можем упростить это уравнение:
(x^2-5x)(x^2-5x+34) = 0.
Теперь у нас есть два множителя: (x^2-5x) и (x^2-5x+34). Чтобы найти значения x, мы должны решить каждый множитель по отдельности.
Множитель 1:
x^2-5x = 0.
Мы можем вынести общий множитель x:
x(x-5) = 0.
Таким образом, у нас есть два возможных значения x: x = 0 и x = 5.
Множитель 2:
x^2-5x+34 = 0.
Однако данное квадратное уравнение не имеет вещественных корней, так как дискриминант D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(34) = 25 - 136 = -111, и он отрицательный.
Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 0 и x = 5.
Мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта. Для этого сначала найдем дискриминант, который равен D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -12 и c = -161.
D = (-12)^2 - 4(1)(-161)
= 144 + 644
= 788
Так как дискриминант положительный, у нас есть два вещественных корня. Используя формулу корней квадратного уравнения, мы можем найти значения y.
y1 = (-(-12) + sqrt(788))/(2(1))
= (12 + sqrt(788))/2
= (12 + 28.071)/2
= 40.071/2
= 20.036
y2 = (-(-12) - sqrt(788))/(2(1))
= (12 - sqrt(788))/2
= (12 - 28.071)/2
= -16.071/2
= -8.036
Таким образом, у нас есть два значения y: 20.036 и -8.036.
Теперь, чтобы найти значения x, мы устанавливаем y равным x^2-2 и решаем уравнения относительно x.
Для y = 20.036:
20.036 = x^2 - 2
x^2 = 22.036
x = ± sqrt(22.036)
x ≈ ± 4.694
Для y = -8.036:
-8.036 = x^2 - 2
x^2 = -6.036
Нет решений, так как квадрат никогда не может быть отрицательным.
Таким образом, уравнение имеет два решения: x ≈ 4.694 и x ≈ -4.694.
2) Для решения уравнения x^4 - 12x^2 - 64 = 0, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Пусть новая переменная y = x^2. Тогда уравнение будет принимать вид y^2 - 12y - 64 = 0.
Мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта. Для этого сначала найдем дискриминант, который равен D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -12 и c = -64.
D = (-12)^2 - 4(1)(-64)
= 144 + 256
= 400
Так как дискриминант положительный, у нас есть два вещественных корня. Используя формулу корней квадратного уравнения, мы можем найти значения y.
y1 = (-(-12) + sqrt(400))/(2(1))
= (12 + sqrt(400))/2
= (12 + 20)/2
= 32/2
= 16
y2 = (-(-12) - sqrt(400))/(2(1))
= (12 - sqrt(400))/2
= (12 - 20)/2
= -8/2
= -4
Таким образом, у нас есть два значения y: 16 и -4.
Теперь, чтобы найти значения x, мы берем квадратный корень из y.
Для y = 16:
x^2 = 16
x = ± sqrt(16)
x = ± 4
Для y = -4:
x^2 = -4
Нет решений, так как квадрат никогда не может быть отрицательным.
Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 4 и x = -4.
3) Для решения уравнения (x^2-5x)(x^2-5x+10)+24=0, мы можем заметить, что уравнение имеет общий множитель (x^2-5x), который мы можем вынести за скобки. Тогда уравнение будет принимать вид:
(x^2-5x)((x^2-5x+10) + 24 = 0.
Мы можем упростить это уравнение:
(x^2-5x)(x^2-5x+34) = 0.
Теперь у нас есть два множителя: (x^2-5x) и (x^2-5x+34). Чтобы найти значения x, мы должны решить каждый множитель по отдельности.
Множитель 1:
x^2-5x = 0.
Мы можем вынести общий множитель x:
x(x-5) = 0.
Таким образом, у нас есть два возможных значения x: x = 0 и x = 5.
Множитель 2:
x^2-5x+34 = 0.
Однако данное квадратное уравнение не имеет вещественных корней, так как дискриминант D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(34) = 25 - 136 = -111, и он отрицательный.
Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 0 и x = 5.