Для того, чтобы выяснить наибольшее число залов, которые можно обойти, не заходя ни в какой зал дважды, нужно правильно раскрасить замок - треугольник. Раскрашиваем в шахматном порядке. Тогда путь по залам - это граф, с вершинами в центрах залов и ребрами - проходами между залами. Видно, ни одно ребро не соединяет вершины одного цвета.
Если начать раскрашивать с первого нижнего углового треугольника в порядке: 1 красим, один - нет, то сумму незакрашенных треугольников можно вычислить по формуле сцммы 1-х n-членов арифметической прогрессии:
а₁=1 (второй верхний ряд треугольников сверху:
а₂=9 (десятый ряд треугольников)
Всего незакрашеные треугольники есть в 9-и рядах, вершина - закрашена)
S₉=(1+9)/2*9=5*9=45 незакрашенных треугольников - залов, значит можно посетить не более 45 незакрашенных залов.
Тогда маршрут может проходить не более, чем по 45+1 закрашенным залам: А - незакрашенный треугольник;
В - закрашенный треугольник.
Маршрут=А+В=А+(А+1)=45+45+1
Маршрут = 91 зал
Во вложении 1 - маршрут, который начинается в нижнем левом треугольнике и, продолжаясь по спирали, заканчивается в среднем закрашенном треугольнике, в четвёртом снизу ряду.
Залы, в которые не надо заходить, иначе придется посетить один зал дважды, отмечены чифрами от 1 до 9 по маршруту движения.
Для наглядности, во вложении 2, пример, подтверждающий формулу, рассмотрен на маленьком треугольнике, разделенном на 9 маленьких.
Докажем, сначала, что куб числа - монотонная функция. Монотонная функция -функций, у которой одному значению переменной соответствует только одно значение функции. Пойдем методом от противного пусть в точках х и х+с функция принимает одно и то же значение, тогда: x^3=(x+c)^3 x^3=x^3+3x^2c+3xc^2+c^3 3c *x^2+ 3c^2 *x +c^3=0|:c не равное 0 3x^2+3cx+c^2=0 D=9c^2-4*3c^2=-3c^2<0 Значит не существует такого с, что функция в при нескольких икс принимает одно и то же значение, а значит она монотонна. Если функция монотонна, то достаточно доказать, что если функция f(х+1) больше функции f(x) -то функция явл возрастающей. Пусть: (x+1)^3>x^3 x^3+3x^2+3x+1>x^3 3x^2+3x+1>0 D=9-12=-3<0 Значит уравнение корней не имеет, у параболы ветви вверх, значит она всюду больше 0 Отсюда следует, что: (x+1)^3>x^3 f(x+1)>f(x) Значит функция является монотонно возрастающей.
Для того, чтобы выяснить наибольшее число залов, которые можно обойти, не заходя ни в какой зал дважды, нужно правильно раскрасить замок - треугольник. Раскрашиваем в шахматном порядке. Тогда путь по залам - это граф, с вершинами в центрах залов и ребрами - проходами между залами. Видно, ни одно ребро не соединяет вершины одного цвета.
Если начать раскрашивать с первого нижнего углового треугольника в порядке: 1 красим, один - нет, то сумму незакрашенных треугольников можно вычислить по формуле сцммы 1-х n-членов арифметической прогрессии:
а₁=1 (второй верхний ряд треугольников сверху:
а₂=9 (десятый ряд треугольников)
Всего незакрашеные треугольники есть в 9-и рядах, вершина - закрашена)
S₉=(1+9)/2*9=5*9=45 незакрашенных треугольников - залов, значит можно посетить не более 45 незакрашенных залов.
Тогда маршрут может проходить не более, чем по 45+1 закрашенным залам: А - незакрашенный треугольник;
В - закрашенный треугольник.
Маршрут=А+В=А+(А+1)=45+45+1
Маршрут = 91 зал
Во вложении 1 - маршрут, который начинается в нижнем левом треугольнике и, продолжаясь по спирали, заканчивается в среднем закрашенном треугольнике, в четвёртом снизу ряду.
Залы, в которые не надо заходить, иначе придется посетить один зал дважды, отмечены чифрами от 1 до 9 по маршруту движения.
Для наглядности, во вложении 2, пример, подтверждающий формулу, рассмотрен на маленьком треугольнике, разделенном на 9 маленьких.