Question

Найди область значений функции:
( с точками )

Answer 1

Функция, конечно, интересная, но искать производную или просто нули функции, очень сложно. Будем рассматривать критические точки функции и искать пределы.

1. Найдем область определения функции:

$\left\{\begin{matrix} 1-x\geq0\\ x+4 0\\ x^2-4 \neq 0\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x \leq 1\\ x -4\\ x \neq \pm2\end{matrix}\right.\Rightarrow x\in(-4;-2)\cup(-2;1]$

Здесь же видно, какие пределы надо считать. Посчитаем предел справа для $x=-4$ (это всякие -3.9999 и т.д.)

Очевидно, что рассматривать всегда надо одно слагаемое, которое приводит знаменатель в 0.

$\displaystyle \lim_{x\to-4+0}\bigg(-\frac{1}{\sqrt{x+4}}\bigg)=\lim_{x\to-4+0}\bigg(-\frac{1}{\sqrt{-4+0+4}}\bigg)=\\=\lim_{x\to-4+0}\bigg(-\frac{1}{+0}\bigg)=-\infty$

То есть слева график уходит в минус бесконечность, для области значений делаем выводы.

Теперь дальше, после (-4) следующая интересная точка (-2), рассмотрим предел слева для неё.

$\displaystyle \lim_{x\to-2-0}\bigg(\frac{1}{x^2-4}\bigg)=\lim_{x\to-2-0}\bigg(\frac{1}{(-2-0)^2-4}\bigg)=\\=\lim_{x\to-2-0}\bigg(\frac{1}{(-(2+0))^2-4}\bigg)=\lim_{x\to-2-0}\bigg(\frac{1}{(2+0)^2-4}\bigg)=\\=\lim_{x\to-2-0}\bigg(\frac{1}{2^2+2\cdot 2\cdot 0+0^2-4}\bigg)=\lim_{x\to-2-0}\bigg(\frac{1}{+0}\bigg)=+\infty$

То есть на интервале $(-4;-2)$ функция уже принимает значения $(-\infty; +\infty)$. Этого уже достаточно, чтобы ответить на вопрос задачи, потому что разрывов внутри интервала нет, а значит, функция обязательно достигнет каждого заявленного значения, ведь на этом интервале она непрерывна.

Но ради интереса посмотрим предел справа

$\displaystyle \lim_{x\to-2+0}\bigg(\frac{1}{x^2-4}\bigg)=\lim_{x\to-2+0}\bigg(\frac{1}{(x-2)(x+2)}\bigg)=\\=\lim_{x\to-2+0}\bigg(\frac{1}{(-2+0-2)(-2+0+2)}\bigg)=\lim_{x\to-2+0}\bigg(\frac{1}{(-4+0)(+0)}\bigg)=\\=\lim_{x\to-2+0}\bigg(\frac{1}{(-4)(+0)}\bigg)=\lim_{x\to-2+0}\bigg(\frac{1}{-0}\bigg)=-\infty$

То есть при переходе через точку $x=-2$ функция с положительной бесконечности прыгает на отрицательную, в целом это нормально для гипербол.

И последний предел, который посчитаем, это при $x\to1$, просто это правый конец области определения.

$\displaystyle\lim_{x\to1}\bigg( \sqrt{1-x}-\frac{1}{\sqrt{x+4}}+\frac{1}{x^2-4} \bigg)=\lim_{x\to1}\bigg( \sqrt{1-1}-\frac{1}{\sqrt{1+4}}+\frac{1}{1^2-4} \bigg)=\\=0-\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{3}=-\frac{3+\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=-\frac{3\sqrt{5}+5}{15}$

То есть функция на $(-4;-2)$ (имеем в виду -2-0) растет от $-\infty$ до $+\infty$ (необязательно монотонно), затем на $(-2;1]$ (имеем в виду -2+0) растет от $-\infty$ до $\displaystyle -\frac{3\sqrt{5}+5}{15}$

(также необязательно монотонно).

И разрыв 2-го рода при $x=-2$

ответ: $\boxed{E(y)=(-\infty;+\infty)}$