Question

Здесь есть ответы и решение кому не лень спишите ответы и решение в тетр лень писать Найдите все x, для которых [x]+{2x}=2,5 , где [x]⎯ целая часть числа x, {x}⎯ дробная часть числа x, то есть {x}=x-[x]. ответ: {2,25;2,75}.

Решение:

Из уравнения и определений следует, что [x]=2,а {2x}=0,5.

Рассмотрим уравнение {2x}=0,5:

1) если 0≤{x}<1/2, то {2x}=2{x} ⇒ {x}=0,25.

2) если 1/2≤{x}<1, то {2x}=2{x}-1 ⇒ {x}=0,75.

Так как x=[x]+{x}, то решения исходного уравнения

x_1=2+0,25=2,25, x_2=2+0,75=2,75.

Обычно Никита выходит из дома в 8:00 утра, садится в машину дяди Вани, который довозит его на учебу к определенному времени. Но в пятницу Никита вышел из дома в 7:10 и побежал в противоположном направлении. Дядя Ваня обождал его и в 8:10 поехал за ним, догнав Никиту, развернулся и доставил его на учебу с опозданием на 20 мин. Во сколько раз скорость машины дяди Вани превышала скорость бегущего Никиты?

ответ: в 13 раз.

Решение:

Машина находилась в пути на 10 мин больше обычного за счет того, что 5 минут догоняла Никиту и 5 минут возвращалась до дома. Машина в 8:15 догнала Никиту и за 65 минут (с 7:10 по 8:15) он пробежал столько, сколько машина ехала 5 минут, т. е. потратил в 65 : 5 = 13 раз больше времени.

Относительно квадратного трехчлена g(x)=mx^2+nx+k известно, что значения g(k) и g(1/m) имеют разные знаки. Могут ли корни многочлена g(x) иметь одинаковые знаки?

ответ: нет.

Решение:

По условию g(k)∙g(1/m)<0, c другой стороны, имеем

g(k)∙g(1/m)=(mk^2+nk+k)(m 1/m^2 +n 1/m m+k)=k/m 〖(mk+n+1) 〗^2.

Следовательно, k/m<0, а по теореме Виета k/m равно произведению корней многочлена g(x). ⇒ корни многочлена g(x) не могут иметь одинаковые знаки.

Докажите, что для неотрицательных чисел a, b, c выполняется неравенство

ab+bc+ca≥a√bc+b√ac+c√ab .

Доказательство:

Пусть ab=x^2,bс=y^2,ac=z^2, откуда для неотрицательных чисел a, b, c

√ab=x,√bc=y,√ac=z. Тогда для неотрицательных чисел x,y,z исходное

неравенство перепишется в виде

x^2+y^2+z^2≥xz+xy+yz. (*)

Так как (x^2+y^2)/2≥xy, ( x^2+z^2)/2≥xz, (y^2+z^2)/2≥yz, то складывая эти три неравенства,

получим верное неравенство (*).

В равнобедренной трапеции MNKL с основаниями ML, NK диагонали перпендикулярны сторонам MN, KL и пересекаются под углом 22,5°. Найдите высоту трапеции, если длина NQ=3, где Q⎯ середина большего основания.

ответ: (3√(2-√2) )/2 (3 sin⁡〖22,5°〗 ).

Решение:

Пусть ML⎯ большее основание трапеции MNKL.

Рассмотрим треугольник MNL: ∠MNL=90°, Q⎯ середина ML (по условию) ⇒

Q⎯ середина гипотенузы ML ⇒ NQ= MQ=QL ⇒ ML=6, так как NQ=3 (по условию).

Пусть точка O⎯ точка пересечения диагоналей, точка H ⎯ основание перпендикуляра, опущенного из K на основание ML, тогда KH ⎯ искомая высота.

Рассмотрим треугольник MOL: ∠KOL=22,5° ⎯ внешний угол в равнобедренном треугольнике MOL ⇒∠OML=∠OLM=11,25°.

Рассмотрим треугольник MKL: ∠MKL=90°, MK= ML〖∙cos〗⁡〖11,25°〗.

Рассмотрим треугольник MKH: ∠MHK=90°, тогда искомая высота

KH= MK〖 ∙sin〗⁡〖11,25°=ML cos⁡〖11,25°〗 〗 sin⁡〖11,25°=3 sin⁡〖22,5°〗=3√((1-cos⁡〖45°〗)/2)=(3√(2-√2) )/2〗

​