Question

Пользуясь определением производной , найдите значение y'(x) в точке x0=1. 1) y=2/x^2
2) y=под корнем 1+2x

Answer 1

Для нахождения значения производной y'(x) в точке x0=1, мы можем использовать определение производной.

1) Первое уравнение: y=2/x^2

Согласно определению производной, мы должны найти предел функции, когда приращение x стремится к нулю. Математически это записывается следующим образом:

y'(x) = lim(x→0) [y(x+x0) - y(x0)] / x

Подставим значение x0=1 и упростим выражение:

y'(x) = lim(x→0) [y(x+1) - y(1)] / x

Теперь выразим функцию y(x):

y(x) = 2/x^2

Тогда:

y(x+1) = 2/(x+1)^2
y(1) = 2/1^2 = 2

Подставляем значения:

y'(x) = lim(x→0) [2/(x+1)^2 - 2] / x

Далее, упростим выражение:

y'(x) = lim(x→0) [2 - 2(x+1)^2] / [x(x+1)^2]
= lim(x→0) [2 - 2(x^2 + 2x + 1)] / [x(x+1)^2]
= lim(x→0) [2 - 2x^2 - 4x - 2] / [x(x+1)^2]
= lim(x→0) [ -2x^2 - 4x] / [x(x+1)^2]
= lim(x→0) [ -2x(x+2)] / [x(x+1)^2]
= lim(x→0) [ -2(x+2)] / [(x+1)^2]
= -4 / (1^2)
= -4

Итак, значение производной y'(x) в точке x0=1 для функции y=2/x^2 равно -4.

2) Второе уравнение: y=√(1+2x)

Аналогично, согласно определению производной, мы должны найти предел функции, когда приращение x стремится к нулю. Математически это записывается следующим образом:

y'(x) = lim(x→0) [y(x+x0) - y(x0)] / x

Подставим значение x0=1 и упростим выражение:

y'(x) = lim(x→0) [y(x+1) - y(1)] / x

Теперь выразим функцию y(x):

y(x) = √(1+2x)

Тогда:

y(x+1) = √(1+2(x+1)) = √(1+2x+2) = √(3+2x)
y(1) = √(1+2*1) = √(1+2) = √3

Подставляем значения:

y'(x) = lim(x→0) [√(3+2x) - √3] / x

Упростим выражение:

y'(x) = lim(x→0) [√(3+2x) - √3] / x
= lim(x→0) [√(3+2x) - √3] * (√(3+2x) + √3) / (x * (√(3+2x) + √3))
= lim(x→0) [(3+2x) - 3] / (x * (√(3+2x) + √3))
= lim(x→0) [2x] / (x * (√(3+2x) + √3))
= lim(x→0) [2] / ((√(3+2x) + √3))
= 2 / (√(3+2*0) + √3)
= 2 / (√3 + √3)
= 2 / (2√3)
= 1 / √3

Таким образом, значение производной y'(x) в точке x0=1 для функции y=√(1+2x) равно 1 / √3.