Question

1+sinx*√(2ctgx)≤0 решите неравенство

Answer 1

1+sinx·√(2ctgx) ≤ 0

Подкоренное выражение не может быть отрицательным

ctg x ≥ 0    0.5π ≥ x > 0 это в 1-й четверти

                 1.5π ≥ x > π это в 3-й четверти

в 1-й четверти sinx > 0 и выражение 1+sinx·√(2ctgx)> 0

в 3-й четверти sinx < 0 и выражение 1+sinx·√(2ctgx)может стать меньше 0, если

sinx·√(2ctgx) ≤ -1

делим на отрицательный синус

√(2ctgx) ≥ -1/sinx

обе части положительны

возводим в квадрат

2ctgx ≥ 1/sin²x

2ctgx ≥  1 + ctg²x

1 + ctg²x - 2ctgx ≤ 0

(1 - ctgx)² ≤ 0

Квадрат любого числа не может быть отрицательным, поэтому остаётся только

равенство нулю:

1 - ctgx = 0

ctgx = 1  (четверть 3-я!)

х = 5/4π

Решение единственное: при х = 5/4π выражение 1+sinx·√(2ctgx) = 0

ну, и, разумеется следует добавить 2πn, тогда решение такое:

х = 5/4π +2πn

Answer 2

ОДЗ: Sinx≠0

        0≤Cosx≤1

x∈[π/2+πk, 2πk) k∈Z

$1+Sinx\sqrt{2\frac{Cosx}{Sinx}}\leq0$

$Sinx\sqrt{2ctgx}\leq-1$

$\sqrt{2ctgx}\leq-\frac{1}{Sinx}$

$2ctgx\leq \frac{1}{Sin^2x}=1+ctg^2x$

$ctg^2x-2ctgx+1\geq0$

(ctgx-1)² ≥ 0

ctgx=1

ответ: x=-3π/4+2πk, k∈Z