Question

с уравнением
y'=2x(x^2+y)

Answer 1

Раскрыли скобки:

y' = 2xy + 2x³

y' - 2xy = 2x³ (*) - линейное (неоднородное) дифференциальное уравнение 1-го порядка, соответствует виду:

y' + P(x)·y = Q(x)

В нашем случае P(x) = -2x; Q(x) = 2x³

Решение ищем в виде y = u(x)·v(x); y' = u'v + uv' подставляем в (*):

u'v + uv' - 2xuv = 2x³

u'v + u(v' - 2xv) = 2x³ (**)

Приравниваем выражение в скобках нулю (метод решения):

v' - 2xv = 0

dv / dx = 2xv

dv / v = 2xdx

Интегрируем:

ln|v| = x²

$v = e^{x^2}$

Подставляем в (**):

$u'e^{x^2}=2x^3$

$du=2x^3e^{-x^2}$

$u=\int{2x^3e^{-x^2}dx$

$u=\int{x^2e^{-x^2}dx^2$

Пусть x² = t

$u=\int{te^{-t}dt=-\int{tde^{-t}}=-te^{-t}+\int{e^{-t}dt}=-te^{-t}-e^{-t}+C$

$u=-x^2e^{-x^2}-e^{-x^2}+C$

Окончательно:

$y=uv=(-x^2e^{-x^2}-e^{-x^2}+C)e^{x^2}=-x^2-1+Ce^{x^2}$