х (км/ч) - собственная скорость катера = скорость катера в стоячей воде
х - 3 (км/ч) - скорость катера против течения реки
х + 3 (км/ч) - скорость катера по течению реки
(х - 3) * 1/2 = (х + 3) * 1/3
1/2х - 3/2 = 1/3х + 1
1/2х - 1/3х = 1 + 3/2
3/6х - 2/6х = 2 1/2
1/6х = 5/2
х = 5/2 : 1/6
х = 5/2 * 6/1 = 30/2
х = 15 (км/ч) - собственная скорость катера
Проверка: (15 - 3) * 1/2 = (15 + 3) * 1/3
12 * 0,5 = 18 * 1/3
6 = 6 - расстояние
ответ: скорость катера в стоячей воде 15 км/ч.
1) Доказать:
а^2 - 3а > 5а - 20
Доказательство:
Оценим разность:
(а^2 - 3а) - (5а - 20) = а^2 - 3а - 5а + 20 = а^2 - 8а + 20 = а^2 - 8а + 16 + 4 = (а-4)^2 + 4.
Так как (а-4)^2 ≥ 0 при всех действительных а, то (а-4)^2 + 4 ≥ 4, т.е.
(а^2 - 3а) - (5а - 20) > 0, по определению
а^2 - 3а > 5а - 20, ч.т.д.
2) Доказать:
28а - 32 ≤ 7а^2 - 4
Доказательство:
Оценим разность:
(28а - 32) - (7а^2 - 4) = 28а - 32 - 7а^2 + 4 = -7а^2 + 28а - 28 = -7•(а^2 - 4а + 4) = -7•(а-2)^2.
Так как (а-2)^2 ≥ 0 при всех действительных а, то
-7•(а-2)^2 ≤ 0 при всех действительных а.
Получили, что
(28а - 32) - (7а^2 - 4) ≤ 0, тогда по определению
28а - 32 ≤ 7а^2 - 4, ч.т.д.
