Question

Исследовать функцию и построить её график : f(x)=x^3-x^2

Answer 1

F(x)=x³-x²
Поведение на бесконечности:
при х⇒-∞ y⇒-∞
при х⇒∞ y⇒∞

Точки пересечения с осью х:
у=0
x³-x²=0
x²(x-1)=0
Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0
x₁=0
x₂-1=0
x₂=1
(0;0) (1;0)

Точки пересечения с осью у:
х=0
у=0
(0;0)

Находим экстремуму функции. Производную приравниваем нулю
y'=3x²-2x
3x²-2x=0
x(3x-2)=0
x₁=0
3x₂-2=0
x₂=2/3
Отмечаем найденные точки на числовой прямой и находим знак производной в интервалах
          +                  -                 +
-----------------₀----------------₀------------------->
                      0                  2/3
Производна меняет знак с плюса на минус в точке х=0. Значит, это точка максимума.
f(0)=0
Производна меняет знак с минуса на плюс в точке х=2/3. Значит, это точка минимума.
f(2/3)=(2/3)³-(2/3)²=8/27-4/9=(8-4*3)/27=-4/27

Ищем наклонные асимптоты (если вы их ищите)
$k= \lim_{n \to \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{n \to \infty} \frac{x^3-x^2}{x}= \lim_{n \to \infty} (x^2-x)= \infty$
Это означает, что наклонных асимптот нет.

Строим график