Question

Два числа называются зеркальной парой чисел, если порядок цифр в одном из них слева направо такой же самый, как порядок цифр другого числа справа налево. произведение какой зеркальной пары чисел равно 92565?

Answer 1

$\overline{abc} = a*10^2 + b*10 + c, \ \overline{cba} = c*10^2 + b*10 + a\\\\ (a*10^2+ b*10 + c)(c*10^2 + b*10 + a) = 92565\\\\ ac*10^4 + (ab + cb)*10^3+ (a^2 + c^2 + b^2)*10^2 + (ab + bc)*10 + ac$

Число 92565 делится на 5, а значит один из множителей, составляющих число делится на пять (но, как и число не делится на 2, поэтому оканчивается на пять, а не на 10). Потому a = 5, получим:

$5c*10^4 + (5b + cb)*10^3+ (5^2 + c^2 + b^2)*10^2 + (5b + bc)*10 + 5c$

Если c больше 1, то $5c*10^4 \geq 10^5 92565 (!)$, следовательно с = 1.

Т.к. число 92565 делится на 9 (т.к. его сумма цифр делится на 9), то
a + b + c должно делиться на 3.

$5 + b +1 = 6 + b = 3t \ \Rightarrow \ b = 0, \ b = 3, \ b = 6, \ b = 9$

Проверим:

$(5*0 + 0*1)*10 + 5 = 5\\\\ (5*3 + 3*1)*10 + 5 = 185\\\\ (5*6 + 6*1)*10 + 5 = 3\underline{65}\\\\ (5*9 + 9*1)*10 + 5 = 545$

Подошло значение b = 6, следовательно числа имеют вид:

$\overline{cba} = 165, \ \overline{abc} = 561$

Действительно, легко убедиться (используя калькулятор), что: 165*561 = 92565