Question

1) sin 2 x - cos x = 0 2) 2 cos^2 x + 3 cos x -2 = 0 3) 2 sin^2 x + 5 cos x = 4

Answer 1

$\sin2x-\cos x=0 \\ 2\sin x\cos x-\cos x=0 \\ \cos x(2\sin x-1)=0 \\ \left[\begin{array}{ccc}\cos x=0\\ \sin x= \frac{1}{2} \end{array}\right \to \left[\begin{array}{ccc}x_1= \frac{\pi}{2}+ \pi n,n \in Z\\ x_2=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6} + \pi k,k \in Z \end{array}\right$

$2\cos^2x+3\cos x-2=0$
Пусть cos x= t причем |t|≤1
$2t^2+3t-2=0 \\ D=b^2-4ac=9+16=25 \\ t_1= \frac{-3+5}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2= \frac{-3-5}{4} =-2$ - не удовлетворяет условие при |t|≤1

Обратная замена

$\cos x= \frac{1}{2} \\ x=\pm \arccos\frac{1}{2}+2 \pi n,n \in Z \\ x=\pm \frac{\pi}{3} +2\pi n,n \in Z$

$2\sin^2x+5\cos x=4 \\ 2(1-\cos^2x)+5\cos x-4=0 \\ 2-2\cos^2x+5\cos x-4=0 \\ 2\cos^2x-5\cos x+2=0$
Пусть cos x = t (|t|≤1)
$2t^2-5t+2=0 \\ D=b^2-4ac=25-16=9 \\ t_1= \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2= \frac{5+3}{4}=2$ - не удовлетворяет условие при |t|≤1

Обратная замена

$\cos x=\frac{1}{2} \\ x=\pm \frac{\pi}{3} +2 \pi n,n \in Z$