Question

Найдите интеграл а) √(6-5xdx) б) dx/√(1-9x^2)

Answer 1

Добрый день! Рад помочь вам разобраться с этими интегралами. Давайте рассмотрим каждый из них по очереди.

а) Интеграл √(6-5xdx):

Чтобы найти этот интеграл, мы можем использовать метод замены переменных. Пусть u = 6 - 5x, тогда du/dx = -5 и dx = du/-5.

Заменяя переменные, интеграл примет вид:
∫√(6-5x)dx = ∫√u * (du/-5)

Мы можем вынести -1/5 из-под знака интеграла:
-1/5 * ∫√u du

Теперь мы можем воспользоваться формулой для интегрирования степенных функций ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1):

-1/5 * (2/3) * u^(3/2) + C
= -2/15 * (6-5x)^(3/2) + C

где С - произвольная постоянная.

Таким образом, интеграл √(6-5xdx) равен -2/15 * (6-5x)^(3/2) + C.

б) Интеграл dx/√(1-9x^2):

Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться методом замены переменных. Пусть u = 1 - 9x^2, тогда du/dx = -18x и dx = du/(-18x).

Заменяя переменные, интеграл примет вид:
∫dx/√(1-9x^2) = ∫(du/(-18x))/√u
= (-1/18) * ∫du/(x *√u)

Мы можем разделить интеграл на два отдельных интеграла:
(-1/18) * ∫(1/x) du/√u

Первый интеграл 1/x выглядит хорошо, так как он является интегралом от ln|x|:
(-1/18) * ln|x| * ∫du/√u

Второй интеграл ∫du/√u - это интеграл от 1/√u и равен 2√u:
(-1/18) * ln|x| * 2√u + C

Возвращаясь к исходным переменным, u = 1 - 9x^2, а √u = √(1 - 9x^2), поэтому конечное решение принимает вид:
(-1/18) * ln|x| * 2√(1 - 9x^2) + C

где С - произвольная постоянная.

Таким образом, интеграл dx/√(1-9x^2) равен (-1/18) * ln|x| * 2√(1 - 9x^2) + C.

Я надеюсь, что эти подробные объяснения помогли вам понять решение каждого из данных интегралов! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь вам!

Answer 2

$\int \sqrt{6-5x}dx=-\frac{1}{5}\cdot \frac{(6-5x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=-\frac{2}{15}\sqrt{(6-5x)^3}+C\\\\\int \frac{dx}{\sqrt{1-9x^2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{1-(3x)^2}}=\frac{1}{3}\cdot arcsin(3x)+C$