Question

Решить с развернутым ответом (6^2x-42×6^x+216)sqrt(x+2)=< 0

Answer 1

$(6^{2x}-42*6^x+216)\sqrt{x+2} \leq 0$

Мы знаем, что $\sqrt{x+2}$ число, которое больше или равно 0. Поэтому нужно найти значения х, при которых этот корень обращается в 0 а затем, в самом уравнении, поделить на него без потери решений.
$\sqrt{x+2}=0\\x+2=0\\x=-2$

$6^{2x}-42*6^x+216 \leq 0\\6^x=t,\,\,t\ \textgreater \ 0\\t^2-42t+216 \leq 0$
Чтобы не возводить 42 в квадрат, мы просто выделим полный квадрат в нашем уравнении.

$t^2-2*21*t+441-225 \leq 0\\(t-21)^2-225 \leq 0\\$
Напомню, что существует формула разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$(t-21-15)(t-21+15) \leq 0\\(t-36)(t-6) \leq 0$
Методом интервалов получаем ответ: $t\in[6;36]$
Теперь сделаем обратную подстановку:
$\left \{ {{6^x \geq 6} \atop {6^x \leq 36}} \right. =\ \textgreater \ \left \{ {{x \geq 1} \atop {x \leq 2}} \right.=\ \textgreater \ x\in[1;2]$
И, внимательно, не забываем про корень, который мы нашли в самом начале. 

ответ: $x=-2,\,\,x\in[1;2]$