Question

Постройте график функции y=|x-1|-|x+3|+x+4 и найдите значения m, при которых прямая y=m имеет с ним ровно две общие точки.

Answer 1

Находим нули подмодульных выражений:
$x-1=0\Rightarrow x=1 \\\ x+3=0\Rightarrow x=-3$

Тогда модуль будем раскрывать на интервалах:
1) $x\ \textless \ -3$
2) $-3 \leq x \leq 1$
3) $x\ \textgreater \ 1$

$y=|x-1|-|x+3|+x+4 \\\ y= \left\{\begin{array}{ccc}-(x-1)+(x+3)+x+4, \ x\ \textless \ -3\\-(x-1)-(x+3)+x+4, \ -3 \leq x \leq 1\\(x-1)-(x+3)+x+4, \ x\ \textgreater \ 1\end{array}\right \\\ y= \left\{\begin{array}{ccc}-x+1+x+3+x+4, \ x\ \textless \ -3\\-x+1-x-3+x+4, \ -3 \leq x \leq 1\\x-1-x-3+x+4, \ x\ \textgreater \ 1\end{array}\right \\\ y= \left\{\begin{array}{ccc}x+8, \ x\ \textless \ -3\\-x+2, \ -3 \leq x \leq 1\\x, \ x\ \textgreater \ 1\end{array}\right$

Значит, на первом интервале строим прямую у=х, сдвинутую на 8 единиц вверх; на втором - прямую у=-х, сдвинутую на 2 единицы вверх; на третьем - прямую у=х.

Прямая y=m параллельна оси х и проходит через точку (m; 0).

Проанализировав взаимное расположение графиков получим:
 - при m<1 - 1 пересечение
 - при m=1 - 2 пересечения
 - при 1<m<5 - 3 пересечения
 - при m=5 - 2 пересечения
 - при m>5 - 1 пересечение

Подходящие случаи: m=1 и m=5

ответ: 1 и 5