=(2^5)^4/(2^6)^3=2^20/2^18=2^2=4
можно рассуждать так:
Произведение числа 13 на некоторое четырехзначное число ---
это уже будет пятизначное число...
полный куб ---пятизначное число => первая степень будет > 21
(21*21*21 = 9261)
искомое четырехзначное число = полный куб / 13 => число 13 делит нацело (является делителем) полного куба, а => и делителем первой степени
для чисел > 21 13 является делителем для 26, 39, 52...
но 52^3 = 140608 ---шестизначное число...
рассмотрим только два варианта:
26^3 = 17576 17576/13 = 1352 ---искомое число
39^3 = 59319 59319/13 = 4563 ---искомое число
2 ·2 · 3 · 3 · 5 · 5 = 900
900 = 4 · 9 · 25
1) Если произведение n(n+1)(n+2)(n+3) делится на 900, значит, оно должно делиться на каждый множитель числа 900, т.е.
Произведение n(n+1)(n+2)(n+3) делится и на 4, и на 9, и на 5.
2) Среди четырех последовательных чисел n, n+1, n+2, n+3 не может быть двух кратных 25, поэтому одно из них делится на 25.
3) По условию число n - трёхзначное наименьшее.
Число 100 делится на 25 и является наименьшим трёхзначным натуральным.
При n = 100 получаем четыре последовательных числа:
100; 101; 102; 103
Но среди этих чисел нет числа, которое делится на 9, поэтому n≠100.
4) Следующее число 125, которое делится на 25 и является трёхзначным натуральным.
Находим ближайшее к числу 125, которое делится на 9.
Это число 126.
Среди четырёх подряд идущих натуральных есть обязательно два чётных, т.е. деление на 4 выполняется.
Итак, получаем два числа из четырех:
125; 126
Дополняем предыдущими для получения наименьшего трехзначного числа:
123; 124; 125; 126
Наименьшее трёхзначное натуральное число n = 123
ответ: n = 123.
(2²*2³)⁴/(2*2⁵)³=(2⁽²⁺³⁾)⁴/(2⁽¹⁺⁵⁾)³=(2⁵)⁴/(2⁶)³=2⁽⁵*⁴⁾/2⁽⁶*³⁾=2²⁰/2¹⁸=
=2⁽²⁰⁻¹⁸⁾=2²=4.