Question

Решите примеры с подробным решением: 1) lim x-> бесконечности 3sinx/x cos x= 2) lim x-> бесконечности (1+5/x)^x= 3) lim x-> бесконечности ((x+2)/x))^2x 4) lim x -> (1+(2/3x))^3x

Answer 1

1) Не совсем понятно cosx умножается на всю дробь или только на икс.
В первом случае будет ноль, т.к. синус и косинус функции периодические, их произведение изменяется не более, чем от плюс до минус единицы. А Всё делится на бесконечность. Второй случай сложнее, периодически встречаются бесконечные разрывы, тогда предел будет плюс или минус бесконечность.

2) $\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{5}{x} ) ^{x}$
Сделаем замену t=5/x, тогда t→0 и x=5/t
$\lim_{t \to \inft0} (1+t) ^{ \frac{5}{t} } = \lim_{t \to \inft0} ((1+t) ^{ \frac{1}{t}}) ^{5} =( \lim_{t \to \inft0} (1+t) ^{ \frac{1}{t} } ) ^{5} = e^{5}$
Использован второй замечательный предел: $\lim_{t \to \inft0} (1+t) ^{ \frac{1}{t} } =e$

3) $\lim_{x \to \infty} ( \frac{x+2}{x}) ^{2x} =\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{2}{x} ) ^{2x}$
Сделаем замену t=2/x, тогда t→0 и x=2/t
$\lim_{t \to \inft0} (1+t) ^{ 2*\frac{2}{t} } =(\lim_{t \to \inft0} (1+t) ^{ \frac{1}{t} } ) ^{4} = e^{4}$

4) $\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{2}{3x} ) ^{3x}$
Сделаем замену t=2/(3x), тогда t→0 и x=2/(3t)
$\lim_{t \to \inft0} (1+ t} ) ^{3 \frac{2}{3t}} =\lim_{t \to \inft0} (1+ t} ) ^{ \frac{2}{t}}=(\lim_{t \to \inft0} (1+ t} ) ^{ \frac{1}{t}}) ^{2} = e^{2}$

Т.о. везде делаются преобразования, чтобы использовать второй замечательный предел.