Question

Mатематический индукция 1*3+2*5++n(2n+1)=n(n+1)(4n+5)/6 нужно доказать . !

Answer 1

В равенстве слева сумма имеет общий член $a_n=n(2n+1)$

1) Базис индукции: $n=1$

$1\cdot (2\cdot 1+1)=\dfrac{1\cdot (1+1)\cdot (4\cdot 1+5)}{6}~~~\Rightarrow~~~ 3=3$

2) Предположим, что и для $n=k$ верно равенство

$1\cdot 3+2\cdot 5+...+k(2k+1)=\dfrac{k(k+1)(4k+5)}{6}$

3) Индукционный переход: $n=k+1$

$\underbrace{1\cdot 3+2\cdot 5+...+k(2k+1)}_{\frac{k(k+1)(4k+5)}{6}}+(k+1)(2k+3)=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\\\\dfrac{k(k+1)(4k+5)}{6}+(k+1)(2k+3)=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\ \\ (k+1)\left(\dfrac{k(4k+5)}{6}+2k+3\right)=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\ \\ (k+1)\cdot \dfrac{4k^2+5k+12k+18}{6}=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\ \\ \dfrac{(k+1)(4k^2+17k+18)}{6}=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\ \\ \dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}$

Равенство выполняется для всех натуральных n. Что и требовалось доказать.