Question

7. найти расстояние от точки м (1,2,3) до плоскости, проходящий через три точки авс. а(5,6,-4) в(6,9,4) с (2,10,10). 8. доказать что вектор а b c образуют базис ( линейно независимы) и найти разложение вектора х по этому базису . х=(7,1,9) а=(5,1,2) b=(8,1,-3) c=(-1,3,2)

Answer 1

1)  A(5,6,4)  ,  B(6,9,4)  ,  C(2,10,10)  .
  Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\end{array}\right| =0\\\\\\\left|\begin{array}{ccc}x-5&y-6&z-4\\1&3&0\\-3&4&6\end{array}\right| =(x-5)\cdot 18-(y-6)\cdot 6+(z-4)\cdot 13=0\\\\\\18x-6y+13z-106=0$

Расстояние от точки М(1,2,3) до плоскости найдём по формуле:

$d=\frac{|\, Ax_0+By_0+Cz_0+D\, |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\\\d=\frac{|18\cdot 1-6\cdot 2+13\cdot 3-106|}{\sqrt{18^2+6^2+13^2}}=\frac{|-61|}{ \sqrt{529} }=\frac{61}{23} =2 \frac{15}{23}$

2)  Векторы образуют базис, если они ЛНЗ, то есть определитель, составленный из координат этих векторов отличен от 0 .

$\vec{a}=(5,1,2)\; ,\; \; \vec{b}=(8,1,-3)\; ,\; \; \vec{c}=(-1,3,2)$

$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}5&1&2\\8&1&-3\\-1&3&2\end{array}\right| =5(2+9)-(16-3)+2(24+1)=92\ne 0$

Векторы $\vec{a}\; ,\; \vec{b}\; ,\; \vec{c}$  образуют базис. Значит, вектор  $\vec{x}$  можно разложить по данному базису.
Найдём координаты вектора   $\vec{x}=(7,1,9)$  в этом базисе, используя соотношение между векторами
  $\vec{x}= \alpha \cdot \vec{a}+ \beta \cdot \vec{b}+\gamma \cdot \vec{c}$ .  
В координатной форме это  соотношение будет иметь вид:

$\left\{\begin{array}{c}5 \alpha +8 \beta -\gamma=7\\ \alpha + \beta +3\gamma =1\\2 \alpha -3 \beta +2\gamma=9\end{array}\right$

Решим систему методом Гаусса.

$\left(\begin{array}{ccc}1&1&3\; \; |\; 1\\5&8&-1\; |\; 7\\2&-3&2\; \; |\; 9\end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc}1&1&3\; \; |\; 1\\0&3&-16|\, 2\\0&-5&-4\; \; |7\end{array}\right) \; \left\begin{array}{ccc}\\\cdot5\\\cdot 3\end{array}\right \oplus\sim \\\\\\ \sim \left(\begin{array}{ccc}1&1&3\; \; |\; 1\\0&3&-16\, |\; 2\\0&0&-92\; |\; 31\end{array}\right) \\\\\\-92\gamma=31\; ,\; \; \gamma=- \frac{31}{92} \\\\3 \beta =2+16\gamma =2- \frac{16\cdot31}{92}=-\frac{312}{92}\; ,\; \; \beta =-\frac{312}{92\cdot 3}=-\frac{312}{276}$

$\alpha =1- \beta -3\gamma =1+\frac{312}{276}+\frac{3\cdot 31}{92}=\frac{867}{276}\\\\\\\vec{x}=\frac{867}{276}\cdot \vec{a}-\frac{312}{276}\cdot \vec{b}-\frac{31}{92} \cdot \vec{c}$