Question

Решите неравенство 3-ιx-1ι≥√x+2 (x+2) под корнем я решила, но не могу объединить в ответ. в первой части у меня получился промежуток [-1; +∞) раскрывая модуль со знаком минус, во второй части у меня [2; 4]

Answer 1

$3-|x-1| \geq \sqrt{x+2}$
возведем обе части в квадрат и составим систему:
$\left\{\begin{array}{ccc}x+2 \geq 0\\(3-|x-1|)^2 \geq x+2\\3-|x-1| \geq 0\end{array}\right$
решим каждое неравенство по отдельности:
$x+2 \geq 0 \\x \geq -2 \\x \in [-2;+\infty) \\3-|x-1| \geq 0 \\|x-1| \leq 3 \\ \left \{ {{x-1 \leq 3} \atop {x-1 \geq -3}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x \leq 4} \atop {x \geq -2}} \right. \Rightarrow x \in [-2;4]$
$\\(3-|x-1|)^2 \geq x+2 \\(x-1)^2+9-6|x-1| \geq x+2 \\x^2-2x+10-6|x-1| \geq x+2 \\x^2-3x+8 \geq 6|x-1| \\|6x-6| \leq x^2-3x+8 \\ \left \{ {{6x-6 \leq x^2-3x+8} \atop {6x-6 \geq -x^2+3x-8}} \right. \\ \left \{ {{x^2-9x+14 \geq 0} \atop {-x^2-3x-2 \leq 0}} \right.$
решаем неравенства 2 системы  по отдельности:
$x^2-9x+14 \geq 0 \\D=81-56=25=5^2 \\x_1= \frac{9+5}{2} =7 \\x_2= \frac{9-5}{2} =2 \\(x-7)(x-2) \geq 0$
используем метод интервалов(см. приложение 1)
$x \in (-\infty;2]\cup [7;+\infty)$
$-x^2-3x-2 \leq 0 \\x^2+3x+2 \geq 0 \\D=9-8=1 \\x_1= \frac{-3+1}{2} =-1 \\x_2= \frac{-3-1}{2} =-2 \\(x+1)(x+2) \geq 0$
используем метод интервалов(см. приложение 2)
$x \in (-\infty;-2]\cup [-1;+\infty)$
пересекаем множества решений 2 системы:
$x \in ((-\infty;2]\cup [7;+\infty)) \cap((-\infty;-2]\cup [-1;+\infty))=\\=(-\infty;-2]\cup [-1;2] \cup [7;+\infty)$
теперь пересекаем множества их решений 1 системы:
$x \in [-2;4] \cap ([-2;+\infty)) \cap ((-\infty;-2]\cup [-1;2] \cup [7;+\infty))=\\=x \in \{-2\} \cup [-1;2]$
ответ: $x \in \{-2\} \cup [-1;2]$