Пусть углы между биссектрисой и гипотенузой будут х и 2х. Рассмотрим треугольник СНВ. Здесь <HCB=45°, т.к. СН - биссектриса, <CHB=2x. Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, найдем неизвестный угол В:<B=180-<HCB-<CHB=180-45-2x=135-2xВ треугольнике АСН точно так же найдем угол А:<A=180-<ACH-<AHC=180-45-x=135-xДля прямоугольного треугольника АВС запишем сумму всех его углов:<A+<B+<C=180(135-x)+(135-2x)+90=180360-3x=1803x=180x=60Значит <B=135-2*60=15°, <A=135-60=75° Подробнее - на -
Площадь параллелограмма ABCD равна 544 см².
Объяснение:
Требуется найти площадь параллелограмма.
Дано: Окр.О,R; Окр.О₁,R;
ABCD - параллелограмм;
М, Р, Т, Е, Н, К - точки касания.
АВ = 18 см; R = 8 cм.
Найти: S (ABCD)
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.1.
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.⇒ МВ = ВР; МА = АК; ТС = ТЕ; ED = DH. (1)
Противоположные стороны параллелограмма равны.⇒ АВ = CD = 18см.
или
ВМ + МА = СЕ + ЕD = 18 см
Из равенств (1) ⇒
ВР + АК = ТС + НD = 18 см (2)
2. Рассмотрим ΔАОК и ΔО₁ТС.
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.⇒ ΔАОК и ΔО₁ТС - прямоугольные.
Противоположные углы параллелограмма равны.⇒ ∠А = ∠С.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла.⇒ ∠ОАК = ∠ТСО₁
ОК = ОТ = R
⇒ ΔАОК и ΔО₁ТС (по катету и острому углу)
⇒ АК = ТС (как соответственные элементы).
3. Рассмотрим ΔОВР и ΔHOD.
Аналогично п.2 получим, что ΔОВР = ΔHOD.
⇒ ВР = НD.
4. Перепишем равенство (2)
ВР + АК = ТС + НD = 18 см
или, учитывая п.2 и п.3.:
HD + АК = ВР + ТС = 18 см
5. Рассмотрим КОО₁Н.
ОК = О₁Т = R
Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.⇒ ОК || О₁Т
Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.⇒ КОО₁Н - параллелограмм.
ОО₁ = КН = 2R = 16 см.
6. Найдем высоту и основание параллелограмма.
КР = 2R = 16 см - высота.
AD = AK + HD + KH = 18 + 16 = 34 (см) - основание.
7. Найдем площадь:
S (ABCD) = AD · KP = 34 · 16 = 544 (см²)
Площадь параллелограмма ABCD равна 544 см².