Построение сводится к проведению перпендикуляра из точки к прямой.
Из вершины А, как из центра, раствором циркуля, равным АС, делаем насечку на стороне ВС. Обозначим эту точку К.
∆ КАС- равнобедренный с равными сторонами АК=АС.
Разделив КС пополам, получим точку М, в которой медиана ∆ КАС пересекается с основанием КС. Т.к. в равнобедренном треугольнике медиана=биссектриса=высота, отрезок АМ будет искомой высотой.
Для этого из точек К и С, как из центра, одним и тем же раствором циркуля ( больше половины КС) проведем две полуокружности. Соединим точки их пересечения с А.
Отрезок АМ разделил КС пополам и является искомой высотой ∆ АВС из вершины угла А.
1. На прямой m отложим отрезок АВ = МР.
2. Построим ∠А = ∠М. Для этого:
построим окружность произвольного радиуса с центром в точке М; точки пересечения этой окружности со сторонами угла М обозначим N и Т;
построим окружность с тем же радиусом с центром в точке А; Е - точка пересечения этой окружности с отрезком АВ;проведем дугу с центром в точке Е и радиусом, равным NT; F - точка пересечения дуги с окружностью;проведем луч AF.3. На луче AF дважды последовательно отложим отрезок, равный МК, получим точку С.
4. Соединим точки В и С.
ΔАВС - искомый.
Задача может не иметь решения, если в данном треугольнике сторона МК большая и не выполняется неравенство:
2MK < MP + KP.