Вариант решения. Отношение сторон обоих треугольников одинаковы. В треугольнике АВС стороны относятся как 6:8:20=3:4:5 В треугольнике PMR отношение сторон 9:12:15=3:4:5 Следовательно. они подобны и являются прямоугольными "египетскими" треугольниками. ( Можно проверить по т. Пифагора). Тогда в каждом из них один угол равен 90°, другой 35°, как дано в условии, третий 90°-35°=55° ответ: углы треугольника PMR равны углам подобного ему треугольника АВС и равны 90°, 35°, 55°.
Нужно признать, что если находить эти углы по их синусам/косинусам или тангенсам в таблице, их величина будет ближе к тем значениям, которые даны в первом ответе.
Лемма. Если из точки P к окружности проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках A и B, а вторая в точках C и D, то . Это легко следует из подобия по двум углам треугольников PBC и PDA.
Решение исходной задачи. Обозначим центр окружности О, P - точка пересечение лучей AB и DC, Q - точка пересечения лучей BC и AD, PO=15, QO=17, радиус . Пусть также М - точка пересечения окружностей описанных около треугольников BCP и DCQ. Тогда Следовательно , т.е. точка М лежит на отрезке PQ.
Теперь если провести секущую из P через О, то по лемме получаем: . А также Аналогично, если провести секущую из Q через О, то . А также Таким образом, откуда PQ=14.
. Это легко следует из подобия по двум углам треугольников PBC и PDA.
. Пусть также М - точка пересечения окружностей описанных около треугольников BCP и DCQ. Тогда 
, т.е. точка М лежит на отрезке PQ.
.
.
откуда PQ=14.
Отношение сторон обоих треугольников одинаковы.
В треугольнике АВС стороны относятся как 6:8:20=3:4:5
В треугольнике PMR отношение сторон 9:12:15=3:4:5
Следовательно. они подобны и являются прямоугольными "египетскими" треугольниками. ( Можно проверить по т. Пифагора).
Тогда в каждом из них один угол равен 90°, другой 35°, как дано в условии, третий 90°-35°=55°
ответ: углы треугольника PMR равны углам подобного ему треугольника АВС и равны 90°, 35°, 55°.
Нужно признать, что если находить эти углы по их синусам/косинусам или тангенсам в таблице, их величина будет ближе к тем значениям, которые даны в первом ответе.