1)
BK биссектриса, тогда ABK=KBC или ABD+DBK=CBM+KBM откуда ABD=CBM=y и DBK=x по теореме Штейнера получается
AD*AM/(CM*CD) = (AB/BC)^2 но так как AM=CM (медиана) AD/CD = (AB/BC)^2 (1) с одной стороны AD=AB*siny и CD=BC*sin(2x+y) из прямоугольных треугольников ABD и CBD соответственно.
с другой AB/BC = cos(2x+y)/cosy из треугольника ABC Подставляя в (1) откуда siny/sin(2x+y) = cos(2x+y)/cosy откуда sin2x*cos(2x+2y)=0, x<180
откуда x=45-y
Значит ABC=2x+2y = 2*(x+45-x) = 90 гр
второй
Опишем около треугольника ABC окружность, пусть X,H,Y точки пересечения BM,BK,BD с описанной окружностью.
Тогда из условия следует AX=CY и AH=CH (опираются на равные углы) так же получаем что H середина дуги XY так как BK биссектриса, HM высота и биссектриса равнобедренного треугольника AHC и XY || AC (так как AXYC) равнобедренная трапеция , значит BYX=BDA=90 гр, если F точка пересечения XY и MH тогда из подобия треугольников XHM и XYB учитывая что XH=HY откуда XM/BX=1/2 то есть BM=MX а так как MX=MY (треугольники AMX и CMY равны) получаем BM=MX=MY треугольник BMY равнобедренный , откуда BD=YD откуда M центра описанной окружности, значит AC диаметр откуда ABC=90 гр.
Пусть диагональ прямоугольника равна х. Так как диагональ прямоугольника - это гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника, а стороны его равны х-8 и х-9 (они меньше диагонали), то по Пифагору
(х-8)² +(х-9)² = х². Раскроем скобки => х² - 34х +145 = 0.
Решаем квадратное уравнение. х1 = 17+12 = 29 и х2 = 17-12=5. Второе значение не удовлетворяет условию. Значит х = 29.
Тогда стороны прямоугольника равны 20 ед и 21 ед. , а его периметр равен 2*(20+21) = 82 ед.Это ответ.