1. В прямоугольном треугольнике АВС (∠C = 90°) проведена медиана CH, AB = 26. Найдите сумму векторов AB+CA+BH.
Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства векторов.
Во-первых, вектор AB означает перемещение от точки A к точке B. Таким образом, сумма векторов AB+CA представляет собой перемещение от точки A к точке B, а затем от точки B к точке C.
Во-вторых, медиана CH в прямоугольном треугольнике является половиной гипотенузы и проходит через прямой угол. Так как AC - это гипотенуза, то точка H является серединой AC.
Для того чтобы найти сумму векторов AB+CA+BH, мы можем разбить ее на две части: AB+CA и AH+BH.
AB+CA - это прямое перемещение от точки A к точке B, а затем от точки B к точке C. Так как каждое из этих перемещений является стороной прямоугольного треугольника ABC, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения суммы этих двух сторон.
Так как мы знаем, что AB = 26, мы можем использовать его в теореме Пифагора:
BC^2 = AC^2 - AB^2
BC^2 = AC^2 - 26^2
BC^2 = AC^2 - 676
Так как медиана CH проходит через прямой угол, она делит гипотенузу AC на две равные части, поэтому AH = HC.
AH = CH/2
AH = BC/2
Таким образом, AH = BC/2 = (AC^2 - 676)/2.
Теперь, чтобы найти сумму векторов AB+CA+BH, мы можем сложить оба перемещения:
AB+CA = AC
AH+BH = BC/2 + BC/2 = BC
Таким образом, сумма векторов AB+CA+BH равна AC+BC.
Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства векторов.
Во-первых, вектор AB означает перемещение от точки A к точке B. Таким образом, сумма векторов AB+CA представляет собой перемещение от точки A к точке B, а затем от точки B к точке C.
Во-вторых, медиана CH в прямоугольном треугольнике является половиной гипотенузы и проходит через прямой угол. Так как AC - это гипотенуза, то точка H является серединой AC.
Для того чтобы найти сумму векторов AB+CA+BH, мы можем разбить ее на две части: AB+CA и AH+BH.
AB+CA - это прямое перемещение от точки A к точке B, а затем от точки B к точке C. Так как каждое из этих перемещений является стороной прямоугольного треугольника ABC, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения суммы этих двух сторон.
Так как мы знаем, что AB = 26, мы можем использовать его в теореме Пифагора:
BC^2 = AC^2 - AB^2
BC^2 = AC^2 - 26^2
BC^2 = AC^2 - 676
Так как медиана CH проходит через прямой угол, она делит гипотенузу AC на две равные части, поэтому AH = HC.
AH = CH/2
AH = BC/2
Таким образом, AH = BC/2 = (AC^2 - 676)/2.
Теперь, чтобы найти сумму векторов AB+CA+BH, мы можем сложить оба перемещения:
AB+CA = AC
AH+BH = BC/2 + BC/2 = BC
Таким образом, сумма векторов AB+CA+BH равна AC+BC.
2. АВСD – равнобедренная трапеция, АВ = СD = 4, ∠D = 60°, АD = 11. Найдите сумму векторов AD+BA+DC.
Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать снова свойство равнобедренной трапеции.
Так как AB=CD=4, мы знаем, что AD+DC=2AB=8.
Также, мы можем найти AD с помощью закона косинусов. У нас есть стороны AD=11, AB=4 и угол D=60°.
Используя закон косинусов:
AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB*BD*cos(D)
11^2 = 4^2 + BD^2 - 2*4*BD*cos(60°)
121 = 16 + BD^2 - 8BD*cos(60°)
BD^2 - 8BD*cos(60°) + 105 = 0
Теперь мы можем решить квадратное уравнение для нахождения BD.
Дискриминант D = b^2 - 4ac
D = (-8cos(60°))^2 - 4*1*105
D = 64/4 - 420
D = 16 - 420
D = -404
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет реальных корней.
Однако, если мы положим BD = 4 (что является длиной стороны AB), мы можем использовать это значение для нахождения BC.
BC = AB + BD/2 = 4 + 4/2 = 6
Таким образом, сумма векторов AD+BA+DC равна AD+BA+DC=11+4+6=21.