Величина угла между плоскостями – угол, сторонами которого являются лучи, по которым эти плоскости пересекаются плоскостью, перпендикулярной ребру угла.
Искомый угол –это угол DHC, образованный отрезками СН и DH (см. рисунок в приложении).
СН - высота ∆ АВС, DC –⊥ плоскости ∆ АВС по условию, DH ⊥ АВ по т. о трёх перпендикулярах,
плоскость DHC перпендикулярна АВ.
СН как катет ∆ АНС, противолежащий углу 30º, равен половине гипотенузы АС и равен а/2
Тангенс угла DHC=DC/HC=[(а√3):2]:a/2=√3.
Это тангенс угла, равного 60º.
Угол между плоскостью (ADB) и плоскостью (ACB)=60º.
Объяснение:
Треугольник EKL равносторонний, его стороны
a^2 = 1^2 + (1/2)^2 + (1/2)^2 = 3/2; a = √(3/2);
KM = a*3/5; KN = a*4/5; cos(∠MKN) = cos(60°) = 1/2;
По теореме косинусов
MN^2 = (a*3/5)^2 + (a*4/5)^2 - (a*3/5)*(a*4/5) = a^2*13/25;
MN = a*√13/5 = √78/10;
В одном из комментариев комментарии я упоминаю, что можно так повернуть куб, чтобы точки E K L циклически поменялись местами E -> K; K -> L; L -> E; и можно сделать это повторно :) . Именно это является главным обоснованием того, что EKL - равносторонний треугольник.
90 град
Объяснение:
SA=SC=SB=AB=BC=AC=a
Проведем AG параллельно ВС. Искомый угол SAG
Проведем высоты АН и ВР в основании
SO^2=AS^2-AO^2
BO=AO=2/3*AH
АН=sqr(3)/2*a
BO= 2/3*AH=sqr(3)/3 *a => SO^2= a^2-1/3*a^2= 2/3*a^2
OG=OP+PG OP= AH/3= sqr(3)/6*a PG= sqr(3)/2*a
OG=2*sqr(3)*a/3
SG^2=SO^2+OG^2= 2*a^2
Для треугольника ASG применим т. косинусов:
SG^2= AS^2+AG^2-2AS*AG*cosx
2*a^2=2*a^2-2*a^2*cosx
1=1-cosx
cosx=1
x=90 градусов