Из точки О построим перпендикуляры ОК, ОН, ОК к прямым АВ, ВС и АС.
Треугольники ОВК и ОВН прямоугольные и равны, так как гипотенуза ОВ у них общая, а угол ОВН = ОВК, так как ВО биссектриса, тогда ОК = ОН.
Аналогично треугольник ОСН = ОСМ, а тогда ОМ = ОН.
Следовательно ОК = ОН = ОК, а значит через точки К, Н, С можно провести окружность с центром в точке О.
Треугольники АКО и АМО прямоугольные, у которых ОК = ОМ как радиусы окружности, АО общая гипотенуза, тогда треугольники равна по катету и гипотенузе. Следовательно, угол КАО = МАО, а АО биссектриса угла ВКМ и ВАС, что и требовалось доказать.
АВ/ВС=4/9, притом AB=CD, BC=AD
Используя теорему синусов, составим следующие соотношения:
BK/sin(∠A/2)=AB/sinα
KD/sin(∠A/2)=AD/sinβ=AD/sin(180°-α)=AD/sinα
BK=(AB*sin(∠A/2))/sinα
KD=(AD*sin(∠A/2))/sinα
делим:
BK/KD=AB/AD=AB/BC=4/9