Через вершину D прямоугольника ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр DE. Точка E удалена от стороны AB на 10 см, а от стороны BC — на 17 см. Найдите диагональ прямоугольника, если DE = 8 см.
Для решения данной задачи, давайте внимательно рассмотрим информацию, которая дана в условии:
- Через вершину D прямоугольника ABCD проведён перпендикуляр DE.
- Точка E удалена от стороны AB на 10 см.
- Точка E удалена от стороны BC на 17 см.
- Значение DE равно 8 см.
Для начала, давайте представим себе прямоугольник ABCD и проведем вертикальную линию DE из вершины D.
Теперь, по условию, мы знаем, что точка E удалена от стороны AB на 10 см и от стороны BC на 17 см. Это означает, что если мы проведем горизонтальную линию, параллельную стороне AB, из точки E и обозначим точку пересечения с прямой BC как F, то отрезок EF будет равен 17 см.
Поскольку DE является перпендикуляром к прямоугольнику ABCD, то отрезок DF будет равен 8 см.
Теперь у нас есть два треугольника: DEF и BFС.
Известно, что отрезок EF равен 17 см, отрезок DF равен 8 см и отрезок BE можно найти как разность отрезка BF (который мы хотим найти) и отрезка EF (который равен 17 см).
Итак, BE = BF - EF = BF - 17 см.
Теперь мы должны применить теорему Пифагора к треугольнику BFС. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (диагонали прямоугольника) равен сумме квадратов катетов (сторон прямоугольника). В нашем случае, гипотенузой является диагональ прямоугольника, а катетами являются стороны AB и BC.
Пусть диагональ прямоугольника равна х, сторона AB равна а, а сторона BC равна b.
Тогда по теореме Пифагора можно записать:
х² = а² + b².
В нашей задаче, сторона AB является горизонтальной стороной, а сторона BC - вертикальной. Из геометрии прямоугольника мы знаем, что диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника, т.е. а² и b² в нашем уравнении - это катеты данных нам треугольников.
Таким образом, мы можем записать уравнение:
х² = (BE + DF)² + EF².
Теперь мы знаем, что BE равно BF - EF (как мы ранее вывели).
Подставим это в уравнение:
х² = (BF - EF + DF)² + EF².
Теперь мы можем заменить значения BF, EF и DF, которые нам даны:
х² = (BF - 17 см + 8 см)² + (8 см)².
Теперь можно произвести вычисления:
х² = (BF - 9 см)² + 64 см².
Далее, раскроем квадрат:
х² = BF² - 18BF + 81 см² + 64 см².
Сложим квадраты и объединим сходные члены:
х² = BF² - 18BF + 145 см².
Таким образом, у нас есть уравнение х² = BF² - 18BF + 145 см².
Итак, мы знаем, что х² равно а² + b², где а - горизонтальная сторона прямоугольника АВ, b - вертикальная сторона прямоугольника ВС. В нашем случае, а = 10 см и b = 17 см. Подставим эти значения в уравнение:
х² = (10 см)² + (17 см)².
Выполним вычисления:
х² = 100 см² + 289 см².
х² = 389 см².
Теперь мы знаем, что у нас есть два уравнения, связанных переменной х:
х² = BF² - 18BF + 145 см² и х² = 389 см².
Поскольку оба уравнения равны х², то они равны между собой:
BF² - 18BF + 145 см² = 389 см².
Теперь выразим переменную BF:
BF² - 18BF + 145 см² - 389 см² = 0.
BF² - 18BF - 244 см² = 0.
Теперь это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы дискриминанта:
Дискриминант (D) = В² - 4AC, где A = 1, B = -18 и C = -244.
D = (-18)² - 4 * 1 * (-244).
D = 324 + 976.
D = 1300.
Теперь мы можем применить формулу дискриминанта, чтобы найти BF:
BF₁ = (-B + √D) / (2A) и BF₂ = (-B - √D) / (2A).
BF₁ = (-(-18) + √1300) / (2 * 1) и BF₂ = (-(-18) - √1300) / (2 * 1).
BF₁ = (18 + √1300) / 2 и BF₂ = (18 - √1300) / 2.
BF₁ ≈ 25.90 и BF₂ ≈ -7.90.
Так как BF не может быть отрицательным (это физически невозможно), то он равен около 25.90.
Таким образом, диагональ прямоугольника равна приблизительно 25.90 см (с округлением).
