На сторонах прямоугольного треугольника АВС (<C=90°) построены квадраты. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна 400 см², а разница площадей квадратов, построенных на катетах, равна 112 см² .Найти площадь треугольника.
Объяснение:
Пусть катет АС=у , ВС=х, при чем х>0 ,y>0 .
По т Пифагора для ΔАВС х²+ у²=400.
С другой стороны S1=у², S2=х² и по условию S2- S1=112.
Пусть AD и BE пересекаются в точке K В треугольнике ABD BE - и биссектриса и высота, то есть это равнобедренный треугольник, AB = BD, и BE - так же и медиана, то есть AK = KD; Пусть теперь точка F лежит на продолжении BA за точку A, так что CF II AD. Так как BD - медиана, то в треугольнике FBC AD - средняя линия, а CA - медиана треугольника FBC; само собой, BE так же медиана этого равнобедренного треугольника FBC (если её продолжить за точку E до пересечения с FC в точке G), то есть точка Е делит AC, как это обычно и бывает с медианами: AE/EC = 1/2; Более того, BE/EG = 2/1, то есть BE/BG = 2/3; а BK/KG = 1/1; то есть BK/BG = 1/2; отсюда BK/BE = 3/4; и KE/BE = 1/4; Таким образом, AK = KD = 48; KE = 24; BK = 72; AB = √(48^2 + 72^2) = 24√13; BC = 2*AB = 48√13; AE = √(48^2 + 24^2) = 24√5; AC = 3*AE = 72√5;
На сторонах прямоугольного треугольника АВС (<C=90°) построены квадраты. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна 400 см², а разница площадей квадратов, построенных на катетах, равна 112 см² .Найти площадь треугольника.
Объяснение:
Пусть катет АС=у , ВС=х, при чем х>0 ,y>0 .
По т Пифагора для ΔАВС х²+ у²=400.
С другой стороны S1=у², S2=х² и по условию S2- S1=112.
Тогда х²-у²=112. Получили систему
{ х²+ у²=400,
{ х²-у²=112. Почленно сложим х²=256 , x=16,
Почленно вычтем , получим у²=144, у=12.
S( треуг)=1/2*а*в, где а,в- длины катетов.
S( треуг)=1/2*12*16=96(см²)