Question

В треугольнике A
B
C
на стороне
A
B
отмечена точка
K
.
Известно, что
BC=15,
AC
AK
​ =
AB
AC
​ =
5
1
​ .
Найдите длину отрезка
C
K
.
ответ запишите в виде целого числа или конечной десятичной дроби

Answer 1

Для решения этой задачи можно использовать теорему синусов.

Теорема синусов гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу её противолежащего угла равно одинаково для всех сторон и углов треугольника.

В данной задаче нам известна длина стороны AB и отношение длин сторон AC:AK и AB:AC. Нам нужно найти длину отрезка CK.

Если мы обозначим угол BAC как α, то у нас есть следующие отношения:
AC/AK = AB/AC = 5/1

Согласно теореме синусов, мы можем выразить длины сторон через синусы углов:
AC = 5sin(α)
AK = sin(α)

Подставим эти значения во второе отношение:
5sin(α)/sin(α) = AB/AC
5 = AB/AC
AC * 5 = AB

Теперь у нас есть соотношение между длинами сторон AB и AC.

Мы также знаем длину стороны BC, которая равна 15.

Используя теорему синусов в треугольнике АВС, мы можем выразить ещё одно отношение:
BC/AB = sin(α)

Подставим значения BC и AB для получения синуса угла α:
15/AB = sin(α)
15/(AC * 5) = sin(α)
15/(5sin(α)) = sin(α)

Теперь мы можем решить это уравнение. Перенесём sin(α) влево:
15 = 5sin^2(α)
3 = sin^2(α)

Возьмём квадратный корень от обеих сторон уравнения:
√3 = sin(α)

Теперь мы можем найти значение угла α, используя обратную функцию синуса:
α = arcsin(√3)

Для угла α найдено значение, теперь мы можем найти длину отрезка CK.

CK/AC = cos(α)

Подставим известные значения для нахождения cos(α):
CK/(5sin(α)) = cos(α)
CK/(5√3) = cos(α)

Теперь мы можем найти значение cos(α). Для этого воспользуемся формулой cos^2(α) = 1 - sin^2(α):
cos^2(α) = 1 - (√3)^2
cos^2(α) = 1 - 3
cos^2(α) = -2

Так как cos(α) не может быть отрицательным, то решений не существует.

Следовательно, задача не имеет решения и отрезок CK не может быть найден.