Отрезки пересечения этой проведенной плокости с боковыми гранями пирамиды - это средние линии треугольников, образующих боковые ребра пирамиды. Значит эти отрезки параллельны ребрам основания пирамиды. По теореме о том, что если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум перескающимся прямым другой плоскости, то такие плосоксти параллельных, получаем требуемое утверждение. Полученный в сечении треугольник подобен треугольнику, лежащему в основании пирамиды с коэффициентом подобия 1/2. Т.е. его площадь в 4 раза меньше площади основания, т.е. равна 16.
Пусть ребро куба а. Введем прямоугольную систему координат как показано на чертеже. Координаты точек
А(а ;0; 0) , В(0;0;а) , , =√((-a)²+0²+a²)=a√2 ;
А(а ;0; a) , D(a;a;0) , , =√(0²+a²+(-a)²)=a√2 .
Скалярное произведение можно вычислить двумя
-по определению ;
-используя координаты .
Получаем ,
2a²* = - а² ,
⇒ угол между векторами , а значит и между прямыми АВ₁ и А₁D равен 120° .