Question

Втреугольнике со сторонами 12, 15 и 18 построена окружность, центр которой лежит на большей стороне, и она касается двух других сторон треугольника. найдите длины отрезков, на которые центр окружности делит большую сторону. в ответе укажите длину наибольшего отрезка. :

Answer 1

Решение:
Опустим радиусы окружности  (смотри рисунок) 
Тогда Получим треугольники  $AOB \ \ BOC$
У них высоты будут радиусами этой окружности , найдем площадь треугольник $ABC$
По формуле Герона получим   
$p=\frac{18+15+12}{2}=\frac{45}{2}\\ S=\sqrt{\frac{45}{2}(\frac{45}{2}-18)(\frac{45}{2}-15)(\frac{45}{2}-12)} = \frac{135\sqrt{7}}{4}\\$
Теперь площадь треугольника  $S_{AOB}=\frac{r*12}{2}=6r\\ S_{BOC}=\frac{r*15}{2}=7.5r\\ S_{ABC} = S_{AOB}+S_{BOC}=13.5r\\ 13.5r=\frac{135\sqrt{7}}{4}\\ r=\frac{5\sqrt{7}}{2}\\$
Теперь из Прямоугольного треугольника AKO. получаем 
AO=$\frac{\frac{5\sqrt{7}}{2}}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}=8\\$
Из Прямоугольного треугольника OMC 
$OC=\frac{\frac{5\sqrt{7}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}=10$
То есть наибольший 10