Пусть данные плоскости а и b.
А ∈ а, В ∈ b.
АН⊥СН, ВС⊥СН
ВН - проекция АВ на плоскость b,
АС - проекция АВ на плоскость а.
∆ АСН - прямоугольный, ∠АНС=90°
По т.Пифагора АН²=АС²-СН²=256-144=112
АН перпендикулярен линии пересечения взаимно перпендикулярных плоскостей, следовательно, АН перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости b и проходящей через Н.
∆ АНВ - прямоугольный. ∠АНВ=90°
По т.Пифагора АВ²=АН²+ВН²=512
АВ=√512=16√2
Или:
∆ СНВ - прямоугольный, ∠ВСН=90° ⇒
По т.Пифагора СВ²=ВН²-СН²=400-144=256
ВС=√256=16
∆ АСВ- прямоугольный. ∠АСВ=90°
По т.Пифагора АВ² = АС² +ВС² =256+256=512⇒
АВ=√512=16√2
Исследуйте, может ли диагональ прямоугольного параллелепипеда составлять с плоскостями двух его смежных боковых граней углы 45 градусов и 60 градусов.
Объяснение:
1)Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники . ΔАВ1D - прямоугольный по т. о трех перпендикулярах : т.к. проекция ВА⊥АD , прямой лежащей в плоскости, то и наклонная АВ1⊥АD, прямой лежащей в плоскости АD⇒∠В1АD=90° .
ΔВ1СD - прямоугольный аналогично.
2) Пусть ∠AB1D=45° ,∠CB1D=60° .
В ΔAB1D , ∠ADB1=45°⇒ равнобедренный и AD=FD1=a. Тогда В1D=√(а²+а²)=а√2.
3)ΔB1CD ,cos 60°=B1C/B1D , B1C=a√2/2.
4) ΔABB1 по т Пифагора h=BB1=√(a²-b²)⇒a>b .
5 )ΔB1CC1 -прямоугольный . по т. Пифагора 
,
чего быть не может.
Значит диагональ прямоугольного параллелепипеда составлять с плоскостями двух его смежных боковых граней углы 45 градусов и 60 градусов не может.
ответ: 4 см
Объяснение (подробно) :
Обозначим данную пирамиду МАВС. О - центр её основания. Центром основания данной пирамиды - правильного треугольника - является точка пересечения его высот, (биссектрис и медиан)
Для построения нужной плоскости проведем ОР параллельно высоте МН боковой грани АМС, и КТ параллельно ребру АС основания. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, эти плоскости параллельны.
Центр ∆ АВС делит медиану ВН в отношении 2:1, считая от вершины В ( свойство медиан треугольника). Плоскость сечения КРС параллельна ∆ АМС и является треугольником, подобным ему. Коэффициент подобия равен ВК:ВА=ВО:ВН=2:3. Периметр сечения относится к периметру грани АМС как 2:3. Периметр ∆АМС=3•2=6.
Р (КРТ)=6•2/3=4 см