Question

Одна из сторон треугольника равна 7 см, а две другие образуют угол 120°. Найти меньшую из неизвестных сторон треугольника, если его периметр равен 15 см.

Answer 1

Решение.

 ΔАВС , АС=7 см ,  ∠В=120° , Р=15 см .

Найти меньшую из неизвестных сторон .

 Обозначит х=АВ , у=ВС .

По теореме косинусов имеем:

$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot DC\cdot cosB49=x^2+y^2-2xy\cdot cos120^\circ 49=x^2+y^2-2xy\cdot (-\dfrac{1}{2})49=x^2+y^2+xyx^2+y^2=49-xy\ \ \ \ (*)$  

 Так как периметр  Р=х+у+7  , то х+у=Р-7  ,  х+у=15-7  ,  х+у=8 (см)  .

По формуле квадрата суммы получим

$(x+y)^2=64\ \ ,\ \ x^2+y^2+2xy=64\ \ ,\ \ x^2+y^2=64-2xy$  

Подставим в уравнение  (*) выражение для  х²+у² :

$64-2xy=49-xy\ \ ,\ \ \ 64-49=2xy-xy\ \ ,\ \ \ xy=15$  

Теперь решим систему.

$\left\{\begin{array}{l}x+y=8\\xy=15\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}y=8-x\\x\, (8-x)=15\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}y=8-x\\x^2-8x+15=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}y_1=5\ ,\ y_2=3\\x_1=3\ ,\ x_2=5\end{array}\right$  

Корни уравнения  $x^2-8x=15=0$  нашли по теореме Виета .

Итак, нашли две неизвестные стороны треугольника АВ и ВС .

Либо АВ=3 см , ВС=5 см , либо АВ=5 см , ВС =3 см .

ответ:  меньшая из неизвестных сторон равна 3 см .

Answer 2

3 см.

Объяснение: