Даны координаты вершин треугольника авс: а(-6; 1), в(2; 4), с (2; -2). докажите , что треугольник авс равнобедренный, и найдите высоту треугольника, проведенную из вершины а
Я не знаю, как точно передать свои мысли, но постараюсь передать свое понимание данного вопроса, как могу))) Так вот, функции син., кос., тг., кт., непосредственно связаны с углами, т.е они выражают числовое значение того или иного угла. Поэтому, когда вычисляют числовое значение того или иного угла, с давних пор уже, еще со времен, когда возникли сами понятия синус, косинус и т.п берут единичную окружность, проводят в ней перпендикулярные диаметры, и для облегчения вычислений, берут четвертую часть данной окружности, соединяют концы сторон данного прямого угла—получается прямоугольный треугольник. А между углами прямоугольного треугольника и тригонометрическими функциями есть прямая зависимость, т.е чем больше/меньше тот или иной угол, тем больше/меньше тригонометрическая функция. А связь между углом и его противолежащей стороной простая: при возрастании/убывании угла возрастает/убывает и ее противолежащая сторона. А т.к между тригонометрическими функциями и углами, между углами и сторонами существует прямая зависимость, то мы вправе утверждать, что между тригонометрическими функциями острого угла и сторонами прямоугольного треугольника существует прямая зависимость
Обозначим отрезки, на которые высота делит гипотенузу, за x и y, причём x<y. Высоту обозначим за h. Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Площадь одного из них равна 1/2xh, а площадь другого 1/2yh, так как в каждом катетами является высота и один из отрезков, на которые разделена гипотенуза. Зная, что 1/2xh=6, 1/2yh=54, получаем 9/2xh=54, 9/2xh=1/2yh, откуда 9x=y. Известно, что h²=xy (верно для высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе), значит, h²=x*9x=9x², то есть h=3x. Теперь рассмотрим треугольник с площадью 6. Его катеты равны x и 3x, значит, площадь равна 1/2*x*3x=3/2x². То есть, 3/2x²=6 и x=2. Тогда один из отрезков равен 2, а второй равен 9x=9*2=18. То есть гипотенуза разделена на отрезки 2 и 18, тогда её длина равна 2+18=20.
Длины отрезков
АВ²=(2+6)²+(4-1)²=73
АВ=√73
ВС²=(2-2)²+(-2-4)²=36
ВС=√36=6
АС²=(2+6)²+(-2-1)²=73
АС=√73
АВ=АС=√73≠ВС- треугольник РАВНОБЕДРЕННЫЙ ч.т.д.
Построим высоту АН
Δ АВН -прямоугольный с катетом АВ=6:2=3 и гипотенузой АВ=√73
По теореме Пифагора
АН²=73-9=64
АН=8 (см)