От противного: Пусть плоскость бета не пересекает прямую а, тогда эта прямая параллельна плоскости бета, следовательно в плоскости бета найдется прямая b, параллельная прямой а. Так как плоскость альфа параллельна плоскости бета, а прямая b лежит в плоскости бета, то в плоскости альфа найдется прямая d, параллельная прямой b. Так как прямая а пересекает плоскость альфа, то эта прямая не параллельна прямой d. Имеем три прямых: a||b, b||d, но a не параллельна d. Получили противоречие, которое доказывает, что бета пересекает прямую а.
Из вершины прямого угла С опустим перпендикуляр СМ на гипотенузу АВ. Восстановим перпендикуляры в точках А и М к плоскости АВС. Эти перпендикуляры пересекут плоскость альфа в точках А1 и М1 соответственно. Обозначим длину этих перпендикуляров буквой h, а длину катета треугольника АВС буквой а. Тогда из треугольника АВС находим: СМ = a/ √2. Из треугольника САА1 определяем h = a/ √3. Наконец, из треугольника СММ1 найдём тангенс угла MСM1 - угла между плоскостью АВС и плоскостью альфа
tg(СММ1) = √2/3.
