Пирамида правильная, следовательно, вершина S проецируется в центр О основания (квадрата АВСD), а все углы, образованные боковыми гранями с плоскостью основания, равны. Это двугранные углы, измеряемые линейным углом, получаемым при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям). В нашем случае это угол SHO, образованный пересечением плоскостей основания и боковой грани плоскостью SOH, перпендикулярной основанию и боковому ребру (то есть перпендикулярной ребру АВ).
Тогда из прямоугольного треугольника SOH имеем:
SO = SH*Sinα = L*Sinα (высота пирамиды), а НО = L*Соsα.
Заметим, что НО - это половина стороны основания. Сторона равна 2*L*Соsα.
Тогда площадь основания So = 4*L²*Соs²α.
Объем пирамиды равен (1/3)*So*SO = (1/3)*4*L²*Соs²α*L*Sinα.
V = (4/3)*L³*Соs²α*Sinα = (2/3)*L³*Соsα*Sin2α (так как
2Sinα*Cosα = Sin2α).
ответ: V = (2/3)*L³*Соsα*Sin2α.
S = 6a²
a² = S/6
a = √(S/6) = √(6S) / 6
Диагональ грани куба:
d = a√2 = √(S/6) · √2 = √(S/3) = √(3S) / 3
Радиус основания цилиндра - радиус окружности, описанной около квадрата со стороной а - половина диагонали:
R = d/2 = √(3S) / 6
Высота цилиндра равна длине ребра куба:
H = a = √(6S) / 6
Sпов. ц. = 2πR² + 2πRH = 2πR(R + H)
Sпов. ц. = 2π√(3S) / 6 · (√(3S) / 6 + √(6S) / 6)
Sпов. ц. = π√(3S) / 3 · √(3S) / 6 · (1 + √2) = πS(1 + √2) / 6