KP=4
3
см
S_{bp} = 256S
bp
=256 см²
Объяснение:
Дано: AB = BC = CD = AD = 16 см, ∠BAD = 30°, ∠KHO = 60°, KH ⊥ AB,
OH ⊥ AB, KO ⊥ ABC, KABCD - піраміда
Знайти: KO, S_{bp}S
bp
- ?
Розв'язання: Так як основою піраміди KABCD є ромб ABCD за умовою і всі двогранні кути піраміди рівні, то точка O - є точкою перетину діагоналей ромба. За властивістю ромба його діагоналі перетинаються під кутом 90° і точкою перетину діляться навпіл, отже AO = OC, DO = OB. Так як трикутники ΔAOB, ΔCOB, ΔCOD і ΔAOD - прямокутні, пр цоьму AO = OC, DO = OB, от за формулою площі прямокутного трикутника:
S_{зAOB} = S_{зCOB} = S_{зCOD} = S_{зAOD}S
зAOB
=S
зCOB
=S
зCOD
=S
зAOD
, отже S_{ABCD} = 4S_{зAOB}S
ABCD
=4S
зAOB
.
Так як за умовою OH ⊥ AB, то OH - висота трикутника ΔAOB, отже
S_{зAOB} = \dfrac{OH \cdot AB}{2}S
зAOB
=
2
OH⋅AB
. За формулою площі ромба: S_{ABCD} = AB^{2} \sin \angle BADS
ABCD
=AB
2
sin∠BAD .
4S_{зAOB} = AB^{2} \sin \angle BAD4S
зAOB
=AB
2
sin∠BAD
\dfrac{4OH \cdot AB}{2} = AB^{2} \sin \angle BAD
2
4OH⋅AB
=AB
2
sin∠BAD
2OH \cdot AB = AB^{2} \sin \angle BAD|:2AB2OH⋅AB=AB
2
sin∠BAD∣:2AB
OH = \dfrac{AB\cdot \sin \angle BAD}{2} = \dfrac{16 \cdot 0,5}{2} = 8 \cdot 0,5 = 4OH=
2
AB⋅sin∠BAD
=
2
16⋅0,5
=8⋅0,5=4 см.
Розглянемо прямокутний трикутник ΔKOH:
tg \ \angle KHO = \dfrac{KO}{OH} \Longrightarrow KO = OH \cdot tg \ \angle KHO = 4 \cdot tg(60^{\circ}) = 4\sqrt{3}tg ∠KHO=
OH
KO
⟹KO=OH⋅tg ∠KHO=4⋅tg(60
∘
)=4
3
см.
Так як усі грані піраміди рівні за площею трикутники, то
S_{bp} = 4S_{зKAB} = \dfrac{4KH \cdot AB}{2} = 2KH \cdot AB = \dfrac{2 \cdot AB \cdot OH}{\cos \angle KHO} = \dfrac{2 \cdot 16 \cdot 4}{\cos 60^{\circ}} =S
bp
=4S
зKAB
=
2
4KH⋅AB
=2KH⋅AB=
cos∠KHO
2⋅AB⋅OH
=
cos60
∘
2⋅16⋅4
=
=\dfrac{128}{0,5} = 256=
0,5
128
=256 см²
Знайдіть бічну сторону рівнобічної трапеції, якщо її основи дорівнюють 12 см і 15 см, а периметр трапеції становить 45 см.
9 смОУ прямокутній трапеції тупий кут більший за гострий на 40°. Чому дорівнює гострий кут трапеції?
70°Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 9 см і 12 см. Знайдіть периметр трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутника.
13,5Знайдіть середню лінію рівнобічної трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 6 см, а периметр становить 36 см.
12Сторони трапеції відносяться як 4: 2: 7: 8, а периметр дорівнює 42 см.
Обчисліть другу за величиною сторону трапеції.
14Висота прямокутної трапеції дорівнює 4 см, менша основа дорівнює 6 см, кут між більшою основою та більшою бічною стороною дорівнює 45°. Знайдіть довжину середньої лінії трапеції. 8Три сторони трапеції рівні між собою, діагональ дорівнює одній з основ. Знайдіть кути трапеції. У відповіді вкажіть менший кут.72
Сначала решим в лоб: можно найти все углы в треугольнике. Дальше, ввиду подобия треугольников, узнаем углы EDC и DEC. Так как треугольники ODN, OME равнобедренные, можно найти углы EOM и DON, а значит, и NOM. Наконец, зная ON, OM и угол между ними, по теореме косинусов найдется NM.
Попробуем реализовать.
cos A = (-a^2 + b^2 + c^2)/2bc
cos B = (a^2 - b^2 + c^2)/2ac
cos NOD = cos(180 - 2A) = -cos(2A) = 1 - 2cos^2 A
sin NOD = sqrt(1 - cos^2 NOD) = 2 sqrt(cos A - cos^2 A)
cos MOE = 1 - 2cos^2 B
sin MOE = sqrt(1 - cos^2 MOE) = 2 sqrt(cos B - cos^2 B)
cos MON = cos(180 - (NOD + MOE)) = -cos(NOD + MOE) = sin NOD sin MOE - cos NOD cos MOE = 4 sqrt((cos A - cos^2 A)(cos B - cos^2 B)) - (1 - 2cos^2 A)(1 - 2cos^2 B)
MN = с/4 * sqrt(1 - cos MON)
При наличии некоторого терпения можно подставить вместо угла всё то, что насчиталось по ходу рассуждений, и получить "симпатичный" ответ
MN = c(a^2 + b^2 - c^2)/4ab
Теперь попробуем угадать хорошее решение (без издевательских выкладок). a^2 + b^2 - c^2 - по теореме косинусов это 2ab cos C, так что MN = c * 2ab cos C / 4ab = c/2 * cos C.
Вспомним, что угол, образованный секущими, пересекающимися вне круга, равен половине разности дуг, заключенных между сторонами. Тогда C = (180 - MON)/2, MON = 180 - 2C. MN = 2 * OM * sin (MON/2) = 2 * c/4 * sin (90 - C) = c/2 * cos(C), ч.т.д.