Длину стороны ромба обозначаем через a : AB =AD =BC =CD =a; точка пересечения диагоналей BD и AC → O. ΔBAD - равносторонний (AB =AD и ∠A =60° ) ⇒ BD = a ; AC =2AO =a√3 . --- MA ⊥ ( ABCD ) ⇒ MA ⊥ AB и MA ⊥ AD . ΔMAB = ΔMAD и т.к. MA =AB =a ⇒ MB =MD =√(a² +a²) =a√2 , Следовательно ΔMCD = ΔMCB ( по трем сторонам _ MC -общее) и из ΔMAC : MC =√(MA²+ AC²) = √(a²+ 3a²) =2a . --- MC линия пересечения плоскостей MCD и MCB . Проведем в треугольнике ΔMCD высоту DK: DK ⊥ MC (K- основание высоты , K ∈ [ MC] ; MC² > MB² +DC² ⇒ ∠ MDC _тупой ) , точка K соединяем с вершиной B , очевидно BK ⊥ MC из ΔMCD = ΔMCB . Таким образом ∠DKB = α искомый угол . По теореме косинусов из ΔMCD : MD² = MC² +CD² - 2MC*CD*cos∠MCD ⇔ 2a² =4a² +a² -2*2a*acos∠MCD⇒ cos∠MCD =3/4 ⇒ sin∠MCD = √(1 -cos²∠MCD) =√(1 -(3/4)² ) =(√7) / 4 KD =CD*sin∠MCD = (a√7) / 4 (из ΔKCD ). --- из ΔDKO : sin (α/2 ) = DO / DK =(a/2) / (a√7) / 4 =2 /√7. α/2 = arcsin (2 /√7) ⇒ α =2arcsin (2 /√7).
Пусть будет трапеция АВСD, BC и AD - основания. Площадь трапеции - это полусумма оснований помноженная на высоту. Высоту не обязательно опускать из вершины. Проведём высоту так, чтобы центр вписанной окружности лежал на ней. Пусть это будет высота НК, О - центр вписанной окружности. Это возможно, если точки Н и К - точки касания окружности с основаниями трапеции (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). Средняя линия трапеции - это полусумма оснований, значит, площадь трапеции можно найти как средняя линия помноженная на высоту. У нас есть длина средней линии - 5, и если площадь - 40, значит, высота НК=40\5=8. НК=ОН+ОК=2ОК => ОК=8\2=4 - радиус вписанной окружности.
