Question

Найти наибольшее значение биссектрисы cl остроугольного треугольника abc, если известно что ab=c, а радиус описанной около треугольника окружности равен r.​

Answer 1

Рассмотрим ΔАВС и ΔАВС1. Продолжим биссектрисы CL и С₁L₁ до пересечения с описанной окружностью в точке Р. ∠АСP = ∠ВСР ⇒ ∪АР = ∪ВР . Хорды, стягивающие равные дуги, равны ⇒ АР = ВРПусть СР будет больше С₁Р, тогда проекция отрезка РL на прямую АВ меньше проекции отрезка РL₁С₁L₁ = C₁P - PL₁ < C₁P - PL < CP - PL = CLКонечно, можно сравнивать и 3, и 4 таких отрезков, но не будем терять время. Поэтому, чем ближе искомая биссектриса к диаметру , тем она длиннее. Таким образом, наибольшее значение биссектрисы будет у равнобедренного треугольника ABC₂ , С₂L₂  - искомаяПерпендикуляр, опущенный на АВ, проходит через его середину и центр описанной окружности.В ΔАОL₂:  OL₂= √(AO² - AL₂²) = √(R² - (c/2)²) = 0,5•√(4R² - c²)C₂L₂ = C₂O + OL₂ = R + 0,5•√(4R² - c²)ОТВЕТ: R + 0,5•√(4R² - c²)

Answer 2

Из вершины В продлим сторону параллельную CL до пересечения продления стороны АС так что EC = BC; ∠ EBD = ∠BCL = α  как накрест лежащие при EB || CL и секущей BC.

∠BEC = ∠EBC ⇒ ΔEBC — равнобедренный. Из этого треугольника

EB = 2BC * cosα (высота, проведенная к ЕВ, делит на два равных прямоугольных треугольника, отсюда и легко найти).

ΔCLA ~ ΔEBA следовательно из подобия $\dfrac{CL}{EB}=\dfrac{AC}{AC+CE}$

$\dfrac{CL}{2BC\cos \alpha}=\dfrac{AC}{AC+CE}$

BC = CE, тогда

$CL=\dfrac{2\cdot BC\cdot AC\cdot\cos\alpha}{AC+BC}$

Среднее гармоническое двух чисел a;b : $x_G=\dfrac{2ab}{a+b}$, а среднее геометрическое - $x_{GEOM}=\sqrt[]{ab}$. $x_G\leq x_{GEOM}$. В данном случае достигает максимума, когда выполняется равенство а=b.

Т.к. α — постоянная величина ; среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического и достигает максимума , тогда и только тогда, когда AC=BC , а значит треугольник равнобедренный, отсюда CL - высота и медиана

По т. Пифагора из треугольника OLA:

$OL=\sqrt{OA^2-AL^2}=\sqrt{R^2-\dfrac{c^2}{4}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4R^2-c^2}$

OC = OA = R, окончательно имеем:

$CL=OC+OL=R+\dfrac{1}{2}\sqrt{4R^2-c^2}$