35 . одно из оснований равнобедренной трапеции равно 4. найдите расстояние между точками касания с ее боковыми сторонами вписанной в трапецию окружности радиуса 4.
Одно из оснований равнобедренной трапеции равно 4. Найдите расстояние между точками касания с ее боковыми сторонами вписанной в трапецию окружности радиуса 4. РЕШЕНИЕ Ясно, что 4 равно меньшее основание - большее не может быть меньше диаметра вписанной окружности. В равнобедренная трапеция АВСД основание ВС=4, r ω=4, ⇒ высота СН=2r=8, СР=СМ=2 по свойству отрезков касательных из одной точки. Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов трапеции, ⇒ угол СОД=полусумме этих углов и равен 90° ОР - высота прямоугольного треугольника СОД и равна r=4 Высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное отрезков, на которые она делит гипотенузу: ОР²=СР*РД 16=2*РД РД=16:2=8 В прямоугольном треугольнике СНД высота СН=2r=8, гипотенуза СД=2+8=10, треугольник СОД «египетский» и НД=6 ( можно проверить по т.Пифагора) КР|| основаниям трапеции, т.к. точки касания находятся на равном от них расстоянии. Δ СЕР ≈ Δ СНД по двум углам - прямому и общему острому. Тогда СР:СД=ЕР:НД 2:10=ЕР:6 10 ЕР=12 ЕР=12:10=1,2 Половина КР= половине ВС +ЕР=2+1,2=3,2 КР=3,2*2=6,4
Найлем для начало стороны AB=√(8-4)^2+(2-6)^2 =√ 16 +16=2√8CD=√(-2-4)^2+(-1+3)^2 =√36+4 =√40 BC=√(4-8)^2+(-3-2)^2=√16+25=√41AD=√(-2-4)^2+(-1-6)^2=√36+49=√85 на рисунке можно видеть что это трапеция выходит, можно раздлить эту трапецию на два треугольника затем найти площадь каждой и суммировать Площадь треугольника S=ab/2*sinaнайдем угол между АВ и AD через скалярAB {4;-4}AD{-6;-7}cosa=4*-6+ 4*7 / √32*85 = 4/√2720теперь sina=√1-16/2720=52/√2720теперь площадь S= 52/√2720 * √2720/2 = 26 теперь площадь другого треугольника опять угол B (8; 2), C (4; -3), D (-2; -1) ВС={-4;-5} CD={-6;2} cosa= 24-10/√1640 = 10/√1640 sina = √1-100/1640 = √1540/1640 S=√41*40/2 * √1540/1640 =√1540/2 = √385 S=√385+26 площадь искомая
Найлем для начало стороны AB=√(8-4)^2+(2-6)^2 =√ 16 +16=2√8CD=√(-2-4)^2+(-1+3)^2 =√36+4 =√40 BC=√(4-8)^2+(-3-2)^2=√16+25=√41AD=√(-2-4)^2+(-1-6)^2=√36+49=√85 на рисунке можно видеть что это трапеция выходит, можно раздлить эту трапецию на два треугольника затем найти площадь каждой и суммировать Площадь треугольника S=ab/2*sinaнайдем угол между АВ и AD через скалярAB {4;-4}AD{-6;-7}cosa=4*-6+ 4*7 / √32*85 = 4/√2720теперь sina=√1-16/2720=52/√2720теперь площадь S= 52/√2720 * √2720/2 = 26 теперь площадь другого треугольника опять угол B (8; 2), C (4; -3), D (-2; -1) ВС={-4;-5} CD={-6;2} cosa= 24-10/√1640 = 10/√1640 sina = √1-100/1640 = √1540/1640 S=√41*40/2 * √1540/1640 =√1540/2 = √385 S=√385+26 площадь искомая
РЕШЕНИЕ
Ясно, что 4 равно меньшее основание - большее не может быть меньше диаметра вписанной окружности.
В равнобедренная трапеция АВСД основание ВС=4, r ω=4, ⇒
высота СН=2r=8,
СР=СМ=2 по свойству отрезков касательных из одной точки.
Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов трапеции, ⇒
угол СОД=полусумме этих углов и равен 90°
ОР - высота прямоугольного треугольника СОД и равна r=4
Высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное отрезков, на которые она делит гипотенузу:
ОР²=СР*РД
16=2*РД
РД=16:2=8
В прямоугольном треугольнике СНД высота СН=2r=8, гипотенуза СД=2+8=10, треугольник СОД «египетский» и НД=6 ( можно проверить по т.Пифагора)
КР|| основаниям трапеции, т.к. точки касания находятся на равном от них расстоянии.
Δ СЕР ≈ Δ СНД по двум углам - прямому и общему острому.
Тогда
СР:СД=ЕР:НД
2:10=ЕР:6
10 ЕР=12
ЕР=12:10=1,2
Половина КР= половине ВС +ЕР=2+1,2=3,2
КР=3,2*2=6,4