Question

Впрямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 . ab=4 ad=6 aa1=8 ak=4 ld=2 mc=2b1mточка к, лежащая на ребре аа1, удалена от вершины а на 4, расстояние от точки l, лежащей на ребре dd1 до вершины d равно 2. точка м лежит на отрезке в1с, длина мс вдвое больше длины в1м.найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью klm.

Answer 1

Поместим параллелепипед ABCDA1B1C1D1 в систему координат вершиной В в начало, стороной ВА по оси Ох, ВС - по оси Оу.

Используя данные задания, находим координаты вершин четырёхугольника сечения (это параллелограмм, так секущая плоскость пересекает параллельные плоскости).

К(4; 0; 4), В2(0; 0; 6), С2(0; 6; 4) и L(4; 6; 2).

Для простоты обозначим их А, В, С и Д.

Найдем вектор по координатам точек:

AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {0 - 4; 0 - 0; 6 - 4} = {-4; 0; 2}

AC = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} = {4 - 4; 6 - 0; 2 - 4} = {0; 6; -2}

S = |AB × AC|

Найдем векторное произведение векторов:

c = AB × AC

AB × AC =  

i j k

ABx ABy ABz

ACx        ACy         ACz      

i            j             k

-4          0                2

0          6               -2    =

  = i (0·(-2) - 2·6) - j ((-4)·(-2) - 2·0) + k ((-4)·6 - 0·0) = i (0 - 12) - j (8 - 0) + k (-24 - 0) = {-12; -8; -24}.

Найдем модуль вектора:

|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √((-12)² + (-8)² + (-24)²) = √(144 + 64 + 576) = √784 = 28.

Это и есть площадь параллелограмма:   S  = 28.