Question

А) через точку на ребре тетраэдра проведите плоскость а так, чтобы сечение тетраэдра было параллелограммом. б) докажите, что сечение тетраэдра плоскостью в//а также является параллелограммом.

Answer 1

По хорошему, тут надо рисовать. Я попробую сделать без чертежа, а потом - может быть - и нарисую.
Пусть задан произвольный тетраэдр ABCD, у которого в общем случае все ребра разные. Грань  ABC (выбранную и обозначенную случайно) я буду считать основанием. Соответственно, остальные 3 грани - боковые.
1) Внутри треугольника ABD я провожу MN II AB в любом месте внутри. Концы отрезка MN лежат на сторонах AD (точка M) и BD (точка N).
Теперь в плоскости ABC в случайном месте на AC надо взять точку P и провести прямую II AB. От точки P надо отложить отрезок, равный MN. Его конец Q окажется (в общем случае) не на BC, но теперь можно через точку Q провести прямую II AC, и она где-то пересечет BC - пусть это точка K. Если теперь провести через K прямую II AB, которая пересечет AC в точке L, то KL = MN (KLPQ - параллелограмм по построению, PQ = MN).
Ясно, что фигура MNKL будет параллелограммом, так как две его стороны равны и параллельны (MN II AB II PQ II KL, KL = MN).
Заодно плоскость этого параллелограмма - и есть искомая плоскость a (через две параллельные можно провести )
2) Из 1) следует, что ML = NK и ML II NK; если провести плоскость b II a; то она пересечет ребра тетраэдра в точках M'N'K'L'; ясно, что M'N' II MN II KL II K'L'; и M'L' II ML II NK II N'K'; доказано.