Рассмотрим трапецию АВСД Дано: ВС=12 см АД=18 см ∠СДВ=∠АДВ Sтрапеции-? Поскольку ВС║АД, углы СВД и ВДА равны Тогда треугольник ВСД равнобедренный по двум равным углам ⇒СД=ВС=12(см) Опустим ⊥из угла С на основание АД Отметим точку Н. НД=(18-12):2=3(см) Катет СН=√(СД²-НД²)=√(12²-3²)=√135 (см) -является еще и высотой трапеции Sтрапеции=ВС*СН+СН*ДН=СН(ВС+ДН)= =(√135)*(3+12)=15√135=45√15(см²)
Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе. Окружность радиуса 8 - вневписанная, касается сторон двух углов - А и С, ее центр лежит на пересечении биссектрис этих углов, смежных с углами А и С ∆ АВС соответственно,⇒ СО - биссектриса и делит угол НСК пополам. . Центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит в точке пересечения биссектрис. ВН и СО₁- биссектрисы. СО₁ делит угол ВСН пополам. АСК - развернутый угол и равен 180º Сумма половин углов АСН и ОСН равна половине развернутого угла. Угол ОСО₁=180°:2=90°⇒ ∆ ОСО₁ - прямоугольный с прямым углом С. АН - высота и медиана равнобедренного треугольника АВС, следовательно, делит основание АС на два равных отрезка: СН=АН=6. СН ⊥ АН⇒ является высотой треугольника ОСО₁.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;⇒
Параллельно прямой АК проведём прямую СМ к стороне АД. СМ пересекает ВД в точке Е. Треугольники АВК и CДМ равны т.к. АВ=СД, ВК=ДМ и ∠В=∠Д. В них ∠АВР=∠СДЕ, значит ВР=ДЕ. Пусть одна часть в заданном отношении равна х, тогда ВР=ДЕ=2х, РД=3х, РЕ=РД-ДЕ=3х-2х=х. В тр-ке ВСЕ РК║СЕ, ВР:РЕ=2:1, значит ВК:СК=2:1 - это ответ 1.
Параллельно сторонам АД и ВС через точку Р проведём отрезок НО. Параллельно сторонам АВ и СД к прямой НО проведём отрезок КТ. НВКТ - параллелограмм. Его площадь равна двум площадям треугольника BPК т.к. у них одинаковая высота к стороне ВК. S(НBКТ)=2S(BРК)=2. Площадь параллелограмма ТКСО равна половине НВКТ т.к. КС=ВК/2. S(TKСО)=2/2=1. АНОД - параллелограмм. Соответственно его площадь равна удвоенной площади тр-ка АРД. Тр-ки BPК и АРД подобны по трём углам, значит их коэффициент подобия k=ВР:РД=2:3, а коэффициент подобия площадей k²=4/9. S(АРД)=S(BРК)/k²=9/4. S(АНОД)=2·9/4=4.5, Площадь исходного параллелограмма АВСД равна сумме площадей найденных параллелограммов НВКТ, ТКСО и АНОД. S(АВСД)=2+1+4.5=7.5 - это ответ 2.
Дано:
ВС=12 см
АД=18 см
∠СДВ=∠АДВ
Sтрапеции-?
Поскольку ВС║АД, углы СВД и ВДА равны
Тогда треугольник ВСД равнобедренный по двум равным углам ⇒СД=ВС=12(см)
Опустим ⊥из угла С на основание АД
Отметим точку Н.
НД=(18-12):2=3(см)
Катет СН=√(СД²-НД²)=√(12²-3²)=√135 (см) -является еще и высотой трапеции
Sтрапеции=ВС*СН+СН*ДН=СН(ВС+ДН)=
=(√135)*(3+12)=15√135=45√15(см²)